有理數

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各種各樣的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

數學上,有理數是一個整數a和一個非零整數b,例如3/8,通則為a/b,故又稱作分數。所有有理數的集合表示為Q,Q+,或\mathbb{Q}。定義如下:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂稱為無理數

詞源[編輯]

有理數在希臘文中稱為λογος,原意是「成比例的數」。英文取其意,以ratio為字根,在字尾加上-nal構成形容詞,全名為rational number,直譯成漢語即是「可比數」。對應地,無理數則為「不可比數」。

但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《幾何原本》,在中國明代,從西方傳入中國,而從中國傳入日本時,出現了錯誤。

明末數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞(「λογος」)譯為「理」,這個「理」指的是「比值」。日本在明治維新以前,歐美數學典籍的譯本多半採用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的「理」直接翻譯成了理,而不是文言文所解釋的「比值」。後來,日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了「有理數」和「無理數」。

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。末中國派留學生到日本,將此名詞傳回中國,以至現在中日兩國都用「有理數」和「無理數」的說法

可見,由於當年日本學者對中國文言文的理解不到位,才出現了今天的誤譯。

運算[編輯]

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的。有理數的加法乘法如下:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

兩個有理數\frac{a}{b}\frac{c}{d}相等若且唯若ad =  bc

有理數中存在加法和乘法的逆:

- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0時,\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}

古埃及分數[編輯]

古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如:

\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}

對於給定的正有理數,存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

形式構建[編輯]

數學上可以將有理數定義為建立在整數有序對\left(a, b\right)等價類,這裡b不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法,規則如下:

\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)
\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)

為了使2/4 = 1/2,定義等價關係\sim如下:

\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的,而且可以將Q定義為整數有序對關於等價關係~的商集\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim 。例如:兩個對 (a, b)和 (c, d)是相同的,如果它們滿足上述等式。(這種構建可用於任何整數環,參見商域。)

Q上的全序關係可以定義為:

\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)若且唯若
  1. bd > 0 並且ad \le bc
  2. bd < 0 並且ad \ge bc

性質[編輯]

有理數集是可數的

集合\mathbb{Q},以及上述的加法和乘法運算,構成,即整數\mathbb{Z}商域

有理數是特徵為0的域最小的一個:所有其他特徵為0的域都包含\mathbb{Q}的一個拷貝(即存在一個從\mathbb{Q}到其中的同構映射)。

\mathbb{Q}代數閉包,例如有理數多項式的根的域,是代數數域

所有有理數的集合是可數的,亦即是說\mathbb{Q}基數(或)與自然數集合\mathbb{N}相同,都是阿列夫數\aleph_0。因為所有實數的集合是不可數的,從勒貝格測度來看,可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數是個稠密的集合:任何兩個有理數之間存在另一個有理數,事實上是存在無窮多個。

實數[編輯]

有理數是實數的緊密子集:每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數

依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的(稠密子集,因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量d\left(x, y\right) = |x - y|,有理數構成一個度量空間,這是\mathbb{Q}上的第三個拓撲。幸運的是,所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間實數\mathbb{Q}的完備集。

p進數[編輯]

除了上述的絕對值度量,還有其他的度量將\mathbb{Q}轉化到拓撲域:

p素數,對任何非零整數a|a|_p = p^{-n},這裡p^{n}整除ap的最高次冪;

另外|0|_p = 0。對任何有理數\frac{a}{b},設\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}

d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p\mathbb{Q}上定義了一個度量

度量空間\left(\mathbb{Q}, d_p\right)不完備,它的完備集是p進數\mathbb{Q}_p

參見[編輯]