2的√2次方

$2^{\sqrt{2}}$的值为：

$2^{\sqrt{2}}=2.6651441...$

阿勒克山德·格爾豐德利用格尔丰德-施奈德定理证明这是一个超越数，回答了希尔伯特第七问题。

它的平方根也是一个超越数。

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269...$

这可以用来说明一个无理数的无理数次方有时可以是有理数，因为这个数的$\sqrt{2}$次方等于2。

希尔伯特第七问题

希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则a^b总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是$2^{\sqrt{2}}$。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和$2^{\sqrt{2}}$的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。但这个数的超越性在1934年得出证明，当时希尔伯特还活着。

参见

• e的π次方
• 希尔伯特数