2的√2次方

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2^{\sqrt{2}}的值为:

2^{\sqrt{2}}=2.6651441...

阿勒克山德·格爾豐德利用格尔丰德-施奈德定理证明这是一个超越数,回答了希尔伯特第七问题

它的平方根也是一个超越数。

\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269...

这可以用来说明一个无理数的无理数次方有时可以是有理数,因为这个数的\sqrt{2}次方等于2。

即:

\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}\ \times\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2.

希尔伯特第七问题[编辑]

希尔伯特的第七个问题是要证明(或找出反例),如果a是一个不等于0或1的代数数,b是一个无理代数数,则ab总是超越数。他给出了两个例子,其中一个就是2^{\sqrt{2}}

1919年,他发表了一个关于数论的演讲,谈到了三个猜想:黎曼猜想费马大定理2^{\sqrt{2}}的超越性。他对观众说,在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。[1]但这个数的超越性在1934年得出证明[2],当时希尔伯特还活着。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
  2. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.