平方根

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函數f(x) = \sqrt x圖,半拋物線與垂直準線。

數學中,一個數x平方根y指的是滿足y^2 = x的數,即平方結果等於x的數。

任意非負實數都有一非負的平方根,稱為算術平方根,記為\sqrt x正數有兩個互為相反數的平方根\sqrt x-\sqrt x\sqrt 0是0的唯一平方根。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學對象都可考慮其「平方根」(例如矩陣的平方根)。

實數的平方根[編輯]

x的平方根亦可用指數表示,如:

x^\frac 1 2 = \sqrt x

x絕對值可用x^2的算數平方根表示:

|x| = \sqrt{x^2}\left( =\begin{cases}
x &(x \ge 0) \\
-x &(x = 0) 
\end{cases}\right)

正數的平方根[編輯]

若正整數x是平方數,則其平方根是整數。若正整數x不是平方數,則其平方根是無理數

對於正數x、y,以下式成立:

\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}

負數的平方根[編輯]

負數的平方根在複數範圍內同樣有定義。

負數有兩個平方根,它們為一對共軛純虛數

虛數單位i=\sqrt{-1}可將負數x的平方根表示為

\pm \sqrt{-x}i,其中\sqrt{-x}i = \sqrt x

例如-5的平方根有兩個,它們分別為\sqrt{5}i-\sqrt{5}i

對於負數x、y,以下式成立:

\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \frac{\sqrt{-x}i}{\sqrt{-y}i} = \sqrt{\frac{-x}{-y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}

平方根函數[編輯]

複數的平方根[編輯]

對於任何一個非零的複數z都存在兩個複數w使得w^2=z

\sqrt{z}通常定義如下:如果z = r \exp (i\varphi)(其中 - \pi < \varphi \le \pi ),則\sqrt{z} = \sqrt{r} \exp(i\varphi/2)。 因此,平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。\sqrt{1+x}的泰勒級數也適用於複數x(|x| < 1)。

如果一個複數是x+iy的形式,則可以使用以下公式計算平方根:

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}

因為在虛數裏,平方根函數的值不是連續的,\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}這條定律不成立。如果這條定律仍可用,就會出現一些錯誤的證明,例如:

-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1

注意\sqrt{c^2} = \pm c,因此\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab, 所以\sqrt{zw} = \pm \sqrt{z} \sqrt{w},使用 a = \sqrt{z}b = \sqrt{w}

多項式的平方根[編輯]

例如: \sqrt{x^4+2x^2+1}=x^2+1\,\!

符號的演變[編輯]

古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母「L」亦受不少中世紀的歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫,在要被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);\sqrt {}(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小楷r的變型;後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的(即「√  ̄」),因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而形成了現在人們熟知的開方運算符號\sqrt[n]{\,\,}

2的算術平方根[編輯]

數學史中,最重要的平方根可以說是\sqrt{2},它代表邊長為1的正方形對角線長,是第一個公認的無理數,也叫畢達哥拉斯常數

\sqrt{2}是無理數,可由歸謬法證明:

  1. \sqrt{2}有理數,可表示為{\frac{p}{q}},其中pq互質之正整數。
  2. 因為\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2,故p^2是2的倍數,p也是2的倍數,記為2k,其中k為正整數。
  3. 但是 2q^2 = p^2 = 4k^2 ,故 q^2 = 2k^2  q^2 是2的倍數,q也是2的倍數。
  4. 依上兩式,pq都是2的倍數,和pq為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證\sqrt{2}不是有理數,即\sqrt{2}是無理數。

計算方法[編輯]

中算開方[編輯]

北宋賈憲增乘開平方法

九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法增乘開平方法明代數學家王素文程大位發明珠算開平方法,而朱載堉算學新說》首創用81位算盤開方,精確到25位數字[1]

長除式算法[編輯]

這個算法的原理是(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b

  1. 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
  2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
  3. 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
  4. 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於又最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
  5. 記下的數一次隔兩位記下。
  6. 重覆第3步,直到找到答案。
  7. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以\sqrt{200}為例子:

\begin{array}{ll}
\quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\
\sqrt{2|00.00|00|00}\\
\quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\
\quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\
\quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2{\color{Green}4}\times{\color{Green}4}=96\le100\\
\qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\
\qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28{\color{Blue}1}\times{\color{Blue}1}=281\le400\\
\qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\
\qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=282{\color{Purple}4}\times{\color{Purple}4}=11296\le11900\\
\qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\
\qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2828{\color{Orange}2}\times{\color{Orange}2}=56564\le60400\\
\qquad\quad\quad~\,38~36\\
\end{array}

\sqrt{200} \approx 14.14213562373095048801668872421

四捨五入得答案為14.14。

事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見''n''次方算法

利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下:

\sqrt {1} =\, 1
\sqrt {2} \approx 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
\sqrt {3} \approx 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
\sqrt {4} =\, 2
\sqrt {5} \approx 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
\sqrt {6} \approx 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
\sqrt {7} \approx 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
\sqrt {8} \approx 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
\sqrt {9} =\, 3
\sqrt {10} \approx 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\sqrt {11} \approx 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\sqrt {12} \approx 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\sqrt {13} \approx 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\sqrt {14} \approx 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\sqrt {15} \approx 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\sqrt {16} =\, 4
\sqrt {17} \approx 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\sqrt {18} \approx 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\sqrt {19} \approx 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\sqrt {20} \approx 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

其中,有兩數的根號可藉由「口訣」記憶:2≈1.41421(意思意思而已),\sqrt{3}\approx1.732(一妻三兒)。

牛頓法[編輯]

如果要求S\,(S>1)的平方根,選取1\,<\,x_0\,<\,S

x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)

例子:求\sqrt{125348}至6位有效數字

x_0 = 3^6 = 729.000\,\!
x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472
x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365
x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191
x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045
x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045

因此\sqrt{125348} \approx 354.045.

連分數[編輯]

平方根可以簡便地用連分數的形式表示,關於連分數請見連分數,其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為:
\sqrt 1=1
\sqrt 2 =[1;2,2,2,2…]
\sqrt 3 =[1;1,2,1,2…]
\sqrt 4 =2
\sqrt 5 =[2;4,4,4,4…]
\sqrt 6 =[2;2,4,2,4…]
\sqrt 7 =[2;1,1,1,4,1,1,1,4…]
\sqrt 8 =[2;1,4,1,4…]
\sqrt 9 =3
\sqrt 10 =[3;6,6,6,6…]
\sqrt 11 =[3;3,6,3,6…]
\sqrt 12 =[3;2,6,2,6…]
\sqrt 13 =[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6…]
\sqrt 14 =[3;1,2,1,6,1,2,1,6…]
\sqrt 15 =[3;1,6,1,6…]
\sqrt 16 =4
\sqrt 17 =[4;8,8,8,8…]
\sqrt 18 =[4;4,8,4,8…]
\sqrt 19 =[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8…]
\sqrt 20 =[4;2,8,2,8…]

連分數部分均循環,省略號前為2或4個循環節。

巴比倫方法[編輯]

重覆的算術運算[編輯]

這個方法是從佩爾方程演變過來的,它透過不斷減去奇數來求得答案。

佩爾方程[編輯]

尺規作圖[編輯]

問題[編輯]

給定線段AB和1,求一條長為AB的線段。

解法[編輯]

Rcsquare root.png
  1. 畫線AB,延長BAC使AC=1
  2. BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
  3. ABC的垂直線,垂直線和圓弧交於DAD即為所求之長度

證明[編輯]

將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設

  • O=(0,0)
  • AB=n
  1. 直徑為BC的圓就是x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2(圓的方程式:x^2+y^2=r2)(其中,r表示半徑。)
  2. \left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)A,D所在的x座標)代入上面的方程式
  3. \left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2
  4. 解方程,得y=n

參見[編輯]

外部連結[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ 勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7-5375-1891-2/O