平方根

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函數 $f(x) = \sqrt x$ 圖，半拋物線與垂直準線。

对于非負實數 $x$ 来说，平方根，是指自乘結果等於 $x$ 的非負實數，表示為 $\sqrt x$ （√x），讀作根號x或x的平方根。正整數的平方根通常是無理數。

$\sqrt x$ 可由下式唯一定義：

$\sqrt x^{2} = x, \sqrt x \geq 0$

在分數指數中，我們有：

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

依定義，可知開平方運算對乘法滿足分配律，即：

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

注意若n是非負實數且

x 2 = n

時，

x

未必等於 $\sqrt{n}$ 。

因為 $\sqrt{n}$ 必定是正數，但 $x 2 = n$ 有正負兩個解。 $x$ 應等於± $\sqrt{n}$ ；即 $\left|x\right| = \sqrt{x^2}$ (見絕對值)。

[编辑] 根號2

數學史中，最重要的平方根可以說是 $\sqrt{2}$ ，它代表單位正方形的對角線長，是第一個公認的無理數。

$\sqrt{2}$ 是無理數，可由歸謬法證明：

設 $\sqrt{2}$ 為有理數，表為 ${\frac{p}{q}}$ ，其中p、q為互質之正整數。
因為 $\sqrt{2}^2 = {\frac{p}{q}}^2 = 2$ ，故 $p 2$ 是2的倍數，p也是2的倍數，記為2k，其中k為正整數。
但是 $2 q 2 = p 2 = 4 k 2$ ，故 $q 2 = 2 k 2$ ， $q 2$ 是2的倍數，q也是2的倍數。
依上兩式，p、q都是2的倍數，和p、q為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證 $\sqrt{2}$ 不是有理數，即 $\sqrt{2}$ 是無理數。

[编辑] 符號的演變

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix(平方根)，1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃，像P和x的合體)； $\sqrt {}$ (沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷 r 的變型；現今常用的 $\sqrt {n}$ 是由笛卡兒在幾何中先用的。

[编辑] 虛數的情況

对于任何一个非零的复数z都存在两个数w使得w² = z。√z通常定义如下：如果z = r exp(iφ)（其中-π < φ ≤ π），则√z = √r exp(iφ/2)。因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。√(1+x)的泰勒级数也适用于复数x（|x| < 1）。

如果一个复数是x+iy的形式，则可以使用以下公式计算平方根：

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

因為在虛數裏，平方根函數的值不是連續的， $\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$ 這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如：

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

注意 $\sqrt{c^2} = \pm c$ ，因此 $\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab$ $\sqrt{zw} = \pm \sqrt{z} \sqrt{w}$ ，使用 $a = \sqrt{z}$ 和 $b = \sqrt{w}$ 。

[编辑] 計算方法

[编辑] 中算开方

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字^[1]。

[编辑] 長除式算法

這個算法的原理是 $(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b = a 2 + (2 a + b) b$ 。

首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0 而得20是一組。如1 04.85 73 得四組，順序為 1' 04. 85' 73'。
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下

可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止

下面以 $\sqrt{200}$ 為例子：

直式：

                            1
                              
1                        
1   1x11                1 |            
___                       __|___
                          1

a=10

                            1     4 .
                              _____                               
1                          | 00.|
1   1x11                   1 |    |          
__                           __|____| 
24                           1   00 | 
 4  24x4100                    96 |       
__                           _______|
                                  4

b=4;

2a+b=24

                            1     4.   1 
                              ____________
1                          | 00 |.00 |
1   1x11                   1 |    |    |    
__                           __|____|    |
24                           1   00 |    |
 4  24x4100                    96 |    |   
___                          _______|____|
281                               4   00 |
  1 281x1400                    2   81 | 
___                               _______|
                                  1   19

其中

a=140

b=1

2a+b=2*(140)+1=281

(2a+b)b=281*1

                            1     4.   1     4 
                              _________________
1                          | 00 |.00 | 00 |
1       1x11               1 |    |    |    |    
__                           __|____|    |    |
24                           1   00 |    |    |
 4      24x4100                96 |    |    |
___                          _______|____|    |
281                               4   00 |    |
  1     281x1400                2   81 |    |
____                              _______|____|
2824                              1   19   00 |
   4    2824*411900             1   12   96 |
____                              ____________|
                                       6   04

其中

a=1410

b=4

(2a+b)=2*(1410)+4=2824

(2ab+b)b=2824*4

                            1     4.   1     4    2
                              ______________________
1                          | 00 |.00 | 00 | 00 |
1       1x11               1 |    |    |    |    |    
__                           __|____|    |    |    |
24                           1   00 |    |    |    |
 4      24x4100                96 |    |    |    |
___                          _______|____|    |    |
281                               4   00 |    |    |
  1     281x1400                2   81 |    |    |
____                              _______|____|    |
2824                              1   19   00 |    |
   4    2824*411900             1   12   96 |    |
____                              ____________|____|
28282                                  6   04   00 |
    2   28282*260400                 5   65   64 |
_____                                  ____________|
                                           38   36

其中

a=14140

b=2

(2a+b)=2*(14140)+2=28282

(2a+b)b=28282*2

………………

$\sqrt{200}=14.14213562373095048801668872421$

四捨五入得答案為14.14

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見移動n次方算法。

[编辑] 牛頓法

如果要求 $S$ （ $S > 1$ ）的平方根，選取 $1 < x 0 < S$

$x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{S}{x_n})$

例子：求 $\sqrt{125348}$ 至6位有效數字。

$x_0 = 3^6 = 729.000\,\!$

$x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472$

$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365$

$x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191$

$x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045$

$x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045$

因此 $\sqrt{125348} \approx 354.045$ .

[编辑] 尺规作图

[编辑] 問題

給定線段AB和1，求一條長為AB開方的線段。

[编辑] 解法

畫線AB，延長AB至C使AC=1
以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

[编辑] 證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

O=(0,0)
AB=n

直徑為BC的圓就是 $x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$ （圓的方程式: $x 2 + y 2 =$ 半徑²）

將(n+1)/2-1（A,D所在的x座標）代入上面的方程式
$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$
解方程，得y=√n

[编辑] 1 至 20 的平方根

利用长式除法可以求平方根。长式除法需要进行加法，减法，乘法，除法等四则运算。一般计算机软件的运算精度小于20位数字，如要计算平方根到100位，四则运算的精度需100位以上。利用高精度长式除法可以计算出 1 至 20 的平方跟如下1 至 20 的平方跟如下：

$\sqrt {1}$	$=\,$	1
$\sqrt {2}$	$\approx$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\sqrt {3}$	$\approx$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\sqrt {4}$	$=\,$	2
$\sqrt {5}$	$\approx$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\sqrt {6}$	$\approx$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\sqrt {7}$	$\approx$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\sqrt {8}$	$\approx$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\sqrt {9}$	$=\,$	3
$\sqrt {10}$	$\approx$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\sqrt {11}$	$\approx$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\sqrt {12}$	$\approx$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\sqrt {13}$	$\approx$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\sqrt {14}$	$\approx$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\sqrt {15}$	$\approx$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\sqrt {16}$	$=\,$	4
$\sqrt {17}$	$\approx$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\sqrt {18}$	$\approx$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\sqrt {19}$	$\approx$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\sqrt {20}$	$\approx$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276