覆疊空間

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拓撲學中,拓撲空間X覆疊空間是一對資料(Y,p),其中Y是拓撲空間,p: Y \to X連續滿射,並存在X的一組開覆盖

X = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U

使得對每個U \in \mathcal{U},存在一個離散拓撲空間F同胚\phi_U:   U \times F \simeq p^{-1}(U),而且p \circ \phi_U: U \times F \to U是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的p: Y \to X稱為覆疊映射。當X連通時,F基數是個常數,稱為覆疊的次數重數

空間X的覆疊構成一個範疇\mathbf{Cov}_X,其對象形如p: Y \to X,從p: Y \to Xq: Z \to X態射是連續映射f: Y \to Z,且q \circ f = p

例子[编辑]

覆疊空間的例子:\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1
  • 考慮映射p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1p(x) = e^{2\pi i x}。對任意s=e^{2\pi it} \in \mathbb{S}^1,取其開鄰域
U := \{e^{2\pi is} : |s-t| < \frac{1}{2} \} \simeq (-1/2, 1/2)
f: (-1/2, 1/2) \times \mathbb{Z} \stackrel{\sim}{\to} p^{-1}(U), \quad f(t,n) = t+n

由此可見p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1是覆疊映射。

性质[编辑]

局部性质 对于任何一个覆叠p:C \to X都是一个局部同胚,这就是说,对任意的c \in C,都存在一个在C中的开邻域U,和p(c)在X中的开邻域V,使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的,则在整体上也成立,并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

萬有覆疊空間[编辑]

連通空間X萬有覆疊空間(若其存在)是範疇\mathbf{Cov}_X初始對象u: \tilde{X} \to X,換言之,對每個覆疊p: X' \to X,存在唯一的連續映射f: \tilde{X} \to X'使得p \circ f = u。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1便是一例。

若要求X局部道路連通且局部單連通,則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形單純複形。在同樣前提下,覆疊\tilde{X} \to X是萬有覆疊的充要條件是基本群\pi_1(\tilde{X},*) = \{e\}

正則覆疊及主叢[编辑]

以下同樣要求X連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射p: Y \to X,選定x \in X。在\mathbf{Cov}_X中的自同構群\mathrm{Aut}(p)在纖維p^{-1}(x)上的作用是自由的(即:\mathrm{Aut}(p) \to \mathrm{Aut}(p^{-1}(x))是單射),對於x \in X的不同選取,此作用僅差個自然的同構。

\mathrm{Aut}(p)的作用是傳遞的,則稱p: Y \to X正則覆疊。萬有覆疊必正則,反之則不然。按照纖維叢的觀點,覆疊空間正是離散纖維的纖維叢,正則覆疊對應到主叢

文獻[编辑]