覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間 $X$ 的覆疊空間是一對資料 $(Y,p)$，其中 $Y$ 是拓撲空間，$p: Y \to X$ 是連續的滿射，並存在 $X$ 的一組開覆盖

$X = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U$

使得對每個 $U \in \mathcal{U}$，存在一個離散拓撲空間 $F$ 及同胚 :$\phi_U: U \times F \simeq p^{-1}(U)$，而且 $p \circ \phi_U: U \times F \to U$ 是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的 $p: Y \to X$ 稱為覆疊映射。當 $X$ 連通時，$F$ 的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間 $X$ 的覆疊構成一個範疇 $\mathbf{Cov}_X$，其對象形如 $p: Y \to X$，從 $p: Y \to X$ 到 $q: Z \to X$ 態射是連續映射 $f: Y \to Z$，且 $q \circ f = p$。

例子

覆疊空間的例子：$\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$

• 考慮映射 $p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$，$p(x) = e^{2\pi i x}$。對任意 $s=e^{2\pi it} \in \mathbb{S}^1$，取其開鄰域

$U := \{e^{2\pi is} : |s-t| < \frac{1}{2} \} \simeq (-1/2, 1/2)$

$f: (-1/2, 1/2) \times \mathbb{Z} \stackrel{\sim}{\to} p^{-1}(U), \quad f(t,n) = t+n$

由此可見 $p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$ 是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶是 $\mathbb{S}^1$ 的二重覆疊空間。

性质

局部性质 对于任何一个复叠 $p:C \to X$都是一个局部同胚，这就是说，对任意的c \in C，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且复叠p变为同胚。 纤维上的同胚

萬有覆疊空間

連通空間 $X$ 的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇 $\mathbf{Cov}_X$ 的初始對象 $u: \tilde{X} \to X$，換言之，對每個覆疊 $p: X' \to X$，存在唯一的連續映射 $f: \tilde{X} \to X'$ 使得 $p \circ f = u$。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的 $\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$ 便是一例。

若要求 $X$ 局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊 $\tilde{X} \to X$ 是萬有覆疊的充要條件是基本群 $\pi_1(\tilde{X},*) = \{e\}$。

正則覆疊及主叢

以下同樣要求 $X$ 連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射 $p: Y \to X$，選定 $x \in X$。在 $\mathbf{Cov}_X$ 中的自同構群 $\mathrm{Aut}(p)$ 在纖維 $p^{-1}(x)$ 上的作用是自由的（即：$\mathrm{Aut}(p) \to \mathrm{Aut}(p^{-1}(x))$ 是單射），對於 $x \in X$ 的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若 $\mathrm{Aut}(p)$ 的作用是傳遞的，則稱 $p: Y \to X$ 為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79540-0.