原群

在抽象代數裡，原群是一種基本的代數結構。具體地說，原群有一個集合 M 和一個 M 上的二元運算 M × M → M 。此二元運算依定義是封閉的，且除此之外便沒有其他公理被加在此運算中。

類型

類似群的結構
	完全性	結合律	單位元	除法
群	是	是	是	是
幺半群	是	是	是	否
半群	是	是	否	否
環群	是	否	是	是
擬群	是	否	否	是
原群	是	否	否	否
廣群	否	是	是	是
范疇	否	是	是	否

原群並不常被研究；相對地，存在一些不同類型的原群，依據其運算需符合公理的不同。一般常被研究的原群類型有：

• 擬群－可逆總是可能的非空原群；
• 環群－有單位元的擬群；
• 半群－運算為可結合的原群；
• 幺半群－有單位元的半群；
• 群－有逆元的幺半群，或等價地說，可結合的環群；
• 阿貝爾群－運算為可交換的群。

從原群到群有兩條不同的路。注意：可除性和可逆性兩者意指著消去性的存在。

原群的態射

原群的態射是一個函數 $f:M\to N$ ，將原群 M 映射至原群 N 上，並保留其二元運算：

$f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)$

其中的 $*_M$ 和 $*_N$ 分別代表著在 M 和 N 上的二元運算。

自由原群

在一集合 X 上的自由原群 $M_X$ 是指由集合 X 產生出的「最一般可能的」自由原群（並沒有任何的關係或公理在產生子上；詳見自由對象）。自由原群可以用計算機科學中熟悉的詞彙來描述，如同其樹葉被 X 內的元素標示的二元樹的原群，其運算是將樹在樹根上連結。因此，自由原群在語法學中有著很基本的重要性。

自由原群有個泛性質，其內容為：若 $f:X\to N$ 是一個從集合 X 映射至任一原群 N 的函數，則會存在唯一一個 $f$ 至原群態射 $f^\prime$ 的擴張。其中，

$f^\prime:M_X \to N$

另見

• 自由半群
• 自由群
• 自由李群

參考文獻

• M. Hazewinkel, Magma//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• M. Hazewinkel, Free magma//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• 埃里克·韦斯坦因, Groupoid at MathWorld