三等分角

三等分角是古希臘幾何尺規作圖當中的名題，和化圓為方、倍立方問題被並列為古代數學的三大難題之一，而如今數學上已證實了這個問題無解。

問題定義

本難題的完整題目為：在只用圓規及一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分。 若將條件放寬，例如允許使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲線使用，可以將一給定角分為三等分。

簡述不可能性之證明

現在已經證明，這個問題是沒有辦法在給定的條件之下完成的。其理論依據出自於十九世紀發展出來的體論。

任何可以在尺規作圖規定下完成的幾何物件，其座標需為規矩數，規矩數的必要條件為一代數數，且最小多項式次數為$2^{n}$。 假設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度 $A$，均可以由尺規作圖得到 $\frac{A}{3}$，而 $\cos{\frac{A}{3}}$ 也會是規矩數。

令 $A$ = $\frac{\pi}{3}$, $x$ = $\cos{\frac{A}{3}}$ = $\cos{\frac{\pi}{9}}$

根據三倍角公式：

$\cos A = 4 \cos^3 {\frac{A}{3}} -$ $3 \cos {\frac{A}{3}}$

因此

$4 x^3 - 3 x = \cos A = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$8 x^3 - 6 x - 1 = 0$

此方程式無有理數解，且其次數為 3，不滿足 $2^{n}$ 的形式，因此 $x$（= $\cos{\frac{\pi}{9}}$）不是規矩數，也就代表無法用尺規作圖得到 $\frac{\pi}{9}$ 與假設矛盾，因此無法用尺規作圖將任意角三等分，三等分角問題因而宣告無解。

用有刻度的直尺（二刻尺）

如果放宽限制，使用有刻度的直尺，则三等分角是可能的。

右图为把角a三等分的示意图。

首先，在直尺上有两个刻度，相距AB。把角上的直线延长，并作一个半径为AB的圆。

把直尺的一点固定在A，并将直尺绕着点A移动，直到其中一个刻度位于点C，另一个刻度位于点D，也就是说，CD = AB。这时，角b就是角a的三分之一。

证明：

1. $e + c = 180$°。
2. $e + 2b = 180$°。
3. 两式相减，得$c = 2b$。
4. $d + 2c = 180$°，因此$d = 180$°$- 2c$，把上式代入，得$d = 180$°$- 4b$。
5. $a + d + b = 180$°，因此$a + (180$°$- 4b) + b = 180$°。

所以，$a - 3b = 0$，或$a = 3b$。证毕。

外部链接

• HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。