伪谱

伪谱（pseudospectrum）在数学中是指一个算子的特征值和“近似”特征值的集合。伪谱是谱（即算子的特征值集合）这一概念的推广，对理解非正规算子及其特征函数十分重要。

矩阵A的ε伪谱（ε-pseudospectrum）包含与该矩阵ε接近（ε-close）的所有矩阵的特征值：

$\Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.$

由于舍入和其他数值误差，计算矩阵特征值的数值算法仅能给出特征值的近似结果。这些误差可以用矩阵E来描述。

更一般地，对于巴拿赫空间$X,Y$与算子$A:X\to Y$ ，$A$的ε伪谱（通常表示为${\text{sp}}_{\epsilon }(A)$ ）可以定义为

${\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.$

其中当$A-\lambda I$是不可逆时，约定$\|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty$。