余弦相似性

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余弦相似性 通过测量两个向量内积空间的夹角的余弦值来度量它们之间的相似性。0度角的余弦值是1,而其他任何角度的余弦值都不大于1;并且其最小值是-1。从而两个向量之间的角度的余弦值确定两个向量是否大致指向相同的方向。两个向量有相同的指向时,余弦相似度的值为1;两个向量夹角为90°时,余弦相似度的值为0;两个向量指向完全相反的方向时,余弦相似度的值为-1。在比较过程中,向量的规模大小不予考虑,仅仅考虑到向量的指向方向。余弦相似度通常用于两个向量的夹角小于90°之内,因此余弦相似度的值为0到1之间。

值得注意的是余弦相似度可以用在任何维度的向量比较中,它尤其在高维正空间中的利用尤为频繁。例如在信息检索中,每个词条拥有不同的度,一个文档是由一个由有权值的特征向量表示的,权值的计算取决于词条在该文档中出现的频率。余弦相似度因此可以给出两篇文档其主题方面的相似度。

另外,它通常用于文本挖掘中的文件比较。此外,在数据挖掘领域中,用它来衡量集群内部的凝聚力。[1]

定义[编辑]

两个向量间的余弦值可以很容易地通过使用欧几里得点积和量级公式推导:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta

鉴于两个向量的属性, AB的余弦相似性θ用一个点积形式来表示其大小,如下所示:

\text{similarity} = \cos(\theta) = {A \cdot B \over \|A\| \|B\|} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}{A_i \times B_i} }{ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(A_i)^2}} \times \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(B_i)^2}} }

产生的相似性范围从-1到1:-1意味着两个向量指向的方向正好截然相反,1表示它们的指向是完全相同的,0通常表示它们之间是独立的,而在这之间的值则表示中度的相似性或相异性。 对于文本匹配,属性向量AB 通常是文档中的词频向量。余弦相似性,可以被看作是一个规范比较文件长度的方法。 在信息检索的情况下,由于一个词的频率(TF-IDF权)不能为负数,所以这两个文档的余弦相似性范围从0到1。并且,两个词的频率向量之间的角度不能大于90°。

角的相似性[编辑]

"余弦相似性" 有时也被用来表达不同的系数,但最常见的是像上述定义那样的。同相似性的计算方法相似,向量之间规范化的的角度可以作为一个范围在[0,1]上的有界相似性函数,从上述定义的相似性计算方法如下: 1 - \left ( \frac{ \cos^{-1}( \text{similarity} )}{ \pi} \right )

在这一公式中,向量系数可能是正,也可能是负,或者 1 - \left ( \frac{ 2 \cdot \cos^{-1}( \text{similarity} ) }{ \pi } \right)

而在这一式子中,向量系数总是正的。 虽然 "余弦相似性" 一词已用于角距离,但是它很奇妙地仅作为一种计算角度的简便方法而本身并无此意思。角的相似系数的优点是,当作为一个差异系数(从1减去它)时,在不为第一要义的情况下,产生的功能是一个适当的距离矩阵。然而,对于大多数的用途,这不是一个重要的属性。对于任何用途,只有在一组向量的相似性或距离的相对顺序是很重要的,那么该函数在产生顺序时受选择的影响是无关紧要的。

"塔尼莫特"系数的困惑[编辑]

有时,余弦相似性作为特殊形式的相似系数和如下类似的代数形式相混淆了:

T(A,B) = {A \cdot B \over \|A\|^2 +\|B\|^2 - A \cdot B}

事实上,这个代数形式在计算Jaccard系数时以位向量作为被比较的集的机制首次被塔尼莫特定义。虽然公式扩展到一般的向量,它具有和余弦相似完全不同的性质,并且承担重要的关系。

落和系数[编辑]

这个系数在在生物学中也叫落合系数或落合Barkman系数[2][3]:  K =\frac{n(A \cap B)}{\sqrt{n(A) \times n(B)}}

另见[编辑]

  • 索伦森的智商的相似性
  • 海明距离
  • 相关性
  • 骰子的系数
  • Jaccard指数
  • SimRank
  • 信息检索

外部链接[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ P.-N. Tan, M. Steinbach & V. Kumar, "Introduction to Data Mining", , Addison-Wesley (2005), ISBN 0-321-32136-7, chapter 8; page 500.
  2. ^ Ochiai A. Zoogeographical studies on the soleoid fishes found Japan and its neighboring regions. II // Bull. Jap. Soc. sci. Fish. 1957. V. 22. № 9. P. 526-530.
  3. ^ Barkman J.J. Phytosociology and ecology of cryptogamic epiphytes, including a taxonomic survey and description of their vegetation units in Europe. – Assen. Van Gorcum. 1958. 628 p.