吉布斯不等式

吉布斯不等式說明：

若 $\sum_{i=1}^n p_i = \sum_{i=1}^n q_i = 1$，且$p_i , q_i \in (0,1]$，則有：

$- \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \leq - \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$，等號成立若且唯若$p_i = q_i \forall i$

在信息論和概率論，它能應用在Fano不等式和訊號源編碼定理的證明。

約西亞·威拉德·吉布斯在19世紀提出它。

證明

吉布斯不等式等價於：

$0 \geq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i - \sum_{i=1}^n p_i \log p_i = \sum_{i=1}^n p_i \log (q_i / p_i) = - D_{\mathrm{KL}}(P\|Q)$（見相對熵）

證明最右的項小於或等於0的方法有幾種，

• 已知 $\ln(x) \leq x-1$，等號成立若且唯若 x=1。

$\sum_{i=1}^n p_i \log (q_i / p_i) \leq \sum_{i=1}^n p_i (q_i / p_i - 1) = \sum_{i=1}^n (q_i - p_i) = \sum_{i=1}^n q_i - \sum_{i=1}^n p_i = 0$

• 根據對數和不等式或延森不等式：

$\sum_{i=1}^n p_i \log \frac{p_i}{q_i} \geq (\sum_{i=1}^n p_i) \log \frac{\sum_{i=1}^n p_i}{\sum_{i=1}^n q_i} = 0$

引理

對於n個變數的概率分布P，其熵的最大值是：

$H(p_1, \ldots , p_n) \leq \log n$