恩格尔展开式

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Engel展開式是一個正整數數列\{a_1,a_2,a_3,...\},使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和:

x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+...\;

有理數的展開式是有限的,無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel,他在 1913 年研究了它们。

Engel展开与连分数[编辑]

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。

x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}.

算法[编辑]

u_1=x
a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil
 u_{k+1}=u_ka_k-1

\left \lceil r \right \rceil表示最小的整數大於或等於r

u_i=0,則停止。

例子[编辑]

k uk ak uk+1
1 3/7 3 2/7
2 2/7 4 1/7
3 1/7 7 0

\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 7}

\{3,4,7\}\;

參考[编辑]

  • Engel, F.. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. 1913: pp. 190–191. 
  • Kraaikamp, Cor; Wu, Jun. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143: 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3. 

外部連結[编辑]