恩格尔展开式

Engel展開式是一個正整數數列$\{a_1,a_2,a_3,...\}$，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和：

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+...\;$

有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。

Engel展开与连分数

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。

$x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}.$

算法

$u_1=x$

$a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil$

$u_{k+1}=u_ka_k-1$

$\left \lceil r \right \rceil$表示最小的整數大於或等於$r$。

若$u_i=0$，則停止。

例子

k	uk	ak	uk+1
1	3/7	3	2/7
2	2/7	4	1/7
3	1/7	7	0

$\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 7}$

$\{3,4,7\}\;$

參考

• Engel, F.. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. 1913: pp. 190–191. 

• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143: 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3. 

外部連結

• Engel展開式的例子