路径积分

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在数学中，路径积分或曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。路径积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

在路径积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是路径积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说 $W=\vec F\cdot\vec d$ ）在推广之后都是以路径积分的形式出现（ $W=\int_C \vec F\cdot d\vec s$ ）。路径积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

[编辑] 矢量分析

简单来说，矢量分析中的路径积分可以看成向量场在特定路径上的累积效果。

[编辑] 标量场的路径积分

设有标量场：F : U ⊆ Rⁿ $\to$ Rⁿ，则对于路径C ⊂ U，F的路径积分是：

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

其中， r: [a, b] $\to$ C 是一个一一的参量化函数，并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点。

f 称为积分函数，C 是积分路径。不严格地说，ds可以被看作积分路径上的一段很小的“弧长”。路径积分的结果不依赖于参量化函数 r。

[编辑] 向量场的路径积分

设有向量场：F : U ⊆ Rⁿ $\to$ Rⁿ，则其在路径 C ⊂ U上关于方向 r的路径积分是：

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

其中， r: [a, b] $\to$ C 是一个一一的参量化函数，并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点。这时路径积分值的绝对值与参量化函数r无关，但其方向与参量化函数r的选择有关。特别地，当方向相反时，积分值也相反。

[编辑] 与路径无关的条件

如果向量场 F 是一个标量场 G 的梯度，即：

$\nabla G = \mathbf{F},$

那么，由 G 和 r 组成的复合函数的导数是：

$\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$

于是对路径C就有：

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).$