雅可比坐標

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二體問題的雅可比坐標系為質心坐標 \boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 和相對坐標 \boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 ;其中,M = m_1+m_2 \ [1]
四体问题一个可能的雅可比坐標系。r1, r2, r3为雅可比坐标,R为质心。[2]

在多体系统的研究中,常用雅可比坐標来简化数学计算。这一坐标系统可以用于多个领域,尤其是天体物理[3],以及多原子分子和化学反应[4] 。一个用于N体问题建立雅可比坐标的算法是利用二叉树[5]。这一算法可以这样描述:

质量分别为mjmk的两个物体用一个质量为M = mj + mk的虚拟物体代替。同时,用相对坐标向量rjk = xj − xk和质心坐标向量Rjk = (mj qj + mkqk)/(mj + mk)来替代两个物体原来的坐标向量xjxk。二叉树中的一个节点即为这一虚拟物体。它有两个子节点,左子节点为mk,右子节点为mj。对N-1个物体重复以上步骤。

四体问题的结果是[2]

\boldsymbol{r_1 = x_1 - x_2} \ ,
\boldsymbol{r_j }= \frac{1}{m_{0j}} \sum_{k=1}^j m_k\boldsymbol {x_k} \ - \ \boldsymbol{x_{j+1}}\ ,

其中:

m_{0j} = \sum_{k=1}^j \ m_k \ .

向量R是所有物体的质心:

\boldsymbol R = \frac{1}{m_0} \sum_{k=1}^N\ m_k \boldsymbol{x_k} \ ; m_0 = \sum_{k=1}^N\ m_k \ .

参考资料[编辑]

  1. ^ David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001. 58; Figure 2.15. 
  2. ^ 2.0 2.1 Patrick Cornille. Partition of forces using Jacobi coordinates//Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific. 2003. 102. ISBN 981-238-367-0. 
  3. ^ 示例见Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. Princeton University Press. 2004. 9. ISBN 0-691-09480-2. 
  4. ^ John Z. H. Zhang. Theory and application of quantum molecular dynamics. World Scientific. 1999. 104. ISBN 981-02-3388-4. 
  5. ^ Hildeberto Cabral, Florin Diacu. Appendix A: Canonical transformations to Jacobi coordinates//Classical and celestial mechanics. Princeton University Press. 2002. 230. ISBN 0-691-05022-8.