Slope one

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Slope One 是一系列应用于 协同过滤的算法的统称。由 Daniel Lemire和Anna Maclachlan于2005年发表的论文中提出。 [1]有争议的是，该算法堪称基于项目评价的non-trivial 协同过滤算法最简洁的形式。该系列算法的简洁特性使它们的实现简单而高效，而且其精确度与其它复杂费时的算法相比也不相上下。 [2]. 该系列算法也被用来改进其它算法。[3][4].

目录

协同过滤简介及其主要优缺点[编辑]

协同过滤推荐（Collaborative Filtering recommendation）是在信息过滤和信息系统中正迅速成为一项很受欢迎的技术。与传统的基于内容过滤直接分析内容进行推荐不同，协同过滤分析用户兴趣，在用户群中找到指定用户的相似（兴趣）用户，综合这些相似用户对某一信息的评价，形成系统对该指定用户对此信息的喜好程度预测。
与传统文本过滤相比，协同过滤有下列优点:
1 能够过滤难以进行机器自动基于内容分析的信息。如艺术品、音乐；
2 能够基于一些复杂的，难以表达的概念（信息质量、品位)进行过滤；
3 推荐的新颖性。
尽管协同过滤技术在个性化推荐系统中获得了极大的成功，但随着站点结构、内容的复杂度和用户人数的不断增加，协同过滤技术的一些缺点逐渐暴露出来。
主要有以下三点:
1 稀疏性(sparsity)：在许多推荐系统中，每个用户涉及的信息量相当有限，在一些大的系统如亚马逊网站中，用户最多不过就评估了上百万本书的1%~2%。造成评估矩阵数据相当稀疏，难以找到相似用户集，导致推荐效果大大降低。
2 扩展性(scalability)：“最近邻居”算法的计算量随着用户和项的增加而大大增加，对于上百万之巨的数目，通常的算法将遭遇到严重的扩展性问题。
3 精确性(accuracy)：通过寻找相近用户来产生推荐集，在数量较大的情况下，推荐的可信度随之降低。

Item-based协同过滤 和 过适[编辑]

当可以对一些项目评分的时候，比如人们可以对一些东西给出1到5星的评价的时候，协同过滤意图基于一个个体过去对某些项目的评分和（庞大的）由其他用户的评价构成的数据库，来预测该用户对未评价项目的评分。 例如: 如果一个人给披头士的评分为5（总分5）的话，我们能否预测他对席琳狄翁新专辑的评分呢？

这种情形下, item-based 协同过滤系统[5][6] 根据其它项目的评分来预测某项目的分值，一般方法为 线性回归 (f(x)=ax+b). 于是，需要列出x^2个线性回归方程和2x^2个回归量，例如：当有1000个项目时，需要列多达1,000,000个线性回归方程， 以及多达2,000,000个回归量。除非我们只选择某些用户共同评价过的项目对，否则协同过滤会遇到过适[2](过拟合) 问题。

另外一种更好的方法是使用更简单一些的式子，比如 f(x)=x+b：实验证明当使用一半的回归量的时候，该式子（称为Slope One）的表现有时优于[2] 线性回归方程。该简化方法也不需要那么多存储空间和延迟。

Item-based 协同过滤只是 协同过滤的一种形式.其它还有像 user-based 协同过滤一样研究用户间的联系的过滤系统。但是，考虑到其他用户数量庞大，item-based协同过滤更可行一些。

电子商务中的Item-based协同过滤[编辑]

人们并不总是能给出评分，当用户只提供二进制数据（购买与否）的时候，就无法应用Slope One 和其它基于评分的算法。 二进制 item-based协同过滤应用的例子之一就是Amazon的 item-to-item 专利算法[7] ，该算法中用二进制向量表示用户-项目购买关系的矩阵，并计算二进制向量间的cosine相关系数。

有人认为Item-to-Item 算法甚至比Slope One 还简单，例如：

购买统计样本
顾客 项目 1 项目 2 项目 3
John 买过 没买过 买过
Mark 没买过 买过 买过
Lucy 没买过 买过 没买过

在本例当中，项目1和项目2间的cosine相关系数为：

\frac{(1,0,0)\cdot (0,1,1) }{ \Vert (1,0,0)\Vert \Vert (0,1,1)\Vert }= 0,

项目1和项目3间的cosine相关系数为：

\frac{(1,0,0)\cdot (1,1,0) }{ \Vert (1,0,0)\Vert \Vert (1,1,0)\Vert }= \frac{1}{\sqrt{2}},

而项目2和项目3的cosine相关系数为：

\frac{(0,1,1)\cdot (1,1,0)}{ \Vert (0,1,1)\Vert \Vert (1,1,0)\Vert }= \frac{1}{2}.

于是，浏览项目1的顾客会被推荐买项目3(两者相关系数最大),而浏览项目2的顾客会被推荐买项目3,浏览了项目3的会首先被推荐买项目1（再然后是项目2,因为2和3的相关系数小于1和3）。该模型只使用了每对项目间的一个参数（cosine相关系数）来产生推荐。因此，如果有n个项目，则需要计算和存储 n（n-1）/2 个cosine相关系数。

Slope One 协同过滤[编辑]

为了大大减少过适(过拟合)的发生，提升算法简化实现， Slope One 系列易实现的Item-based协同过滤算法被提了出来。本质上，该方法运用更简单形式的回归表达式(f(x)=x+b) 和单一的自由参数，而不是一个项目评分和另一个项目评分间的线性回归 (f(x)=ax+b)。 该自由参数只不过就是两个项目评分间的平均差值。甚至在某些实例当中，它比线性回归的方法更准确[2]，而且该算法只需要一半（甚至更少）的存储量。

Simplicity diagram.png

例:

  1. User A 对 Item I 评分为1 对Item J.评分为1.5
  2. User B 对 Item I 评分为2.
  3. 你认为 User B 会给 Item J 打几分?
  4. Slope One 的答案是：2.5 (1.5-1+2=2.5).


举个更实际的例子，考虑下表：

评分数据库样本
顾客 项目 1 项目 2 项目 3
John 5 3 2
Mark 3 4 未评分
Lucy 未评分 2 5

在本例中，项目2和1之间的平均评分差值为 (2+(-1))/2=0.5. 因此，item1的评分平均比item2高0.5。同样的，项目3和1之间的平均评分差值为3。因此，如果我们试图根据Lucy 对项目2的评分来预测她对项目1的评分的时候，我们可以得到 2+0.5 = 2.5。同样，如果我们想要根据她对项目3的评分来预测她对项目1的评分的话，我们得到 5+3=8.

如果一个用户已经评价了一些项目，可以这样做出预测：简单地把各个项目的预测通过加权平均值结合起来。当用户两个项目都评价过的时候，权值就高。在上面的例子中，项目1和项目2都评价了的用户数为2,项目1和项目3 都评价了的用户数为1,因此权重分别为2和1. 我们可以这样预测Lucy对项目1的评价：

\frac{2 \times 2.5 + 1 \times 8 }{2+1} = \frac{13 }{3} = 4.33 于是，对“n”个项目，想要实现 Slope One，只需要计算并存储“n”对评分间的平均差值和评价数目即可。


Slope One 的java/c#实现[编辑]

java实现

import java.util.*; public class SlopeOne {

 public static void main(String args[]){
   // this is my data base
   Map<UserId,Map<ItemId,Float>> data = new HashMap<UserId,Map<ItemId,Float>>();
   // items
   ItemId item1 = new ItemId("       candy");
   ItemId item2 = new ItemId("         dog");
   ItemId item3 = new ItemId("         cat");
   ItemId item4 = new ItemId("         war");
   ItemId item5 = new ItemId("strange food");
   mAllItems = new ItemId[]{item1, item2, item3, item4, item5};
   //I'm going to fill it in
   HashMap<ItemId,Float> user1 = new HashMap<ItemId,Float>();
   HashMap<ItemId,Float> user2 = new HashMap<ItemId,Float>();
   HashMap<ItemId,Float> user3 = new HashMap<ItemId,Float>();
   HashMap<ItemId,Float> user4 = new HashMap<ItemId,Float>();
   user1.put(item1,1.0f);
   user1.put(item2,0.5f);
   user1.put(item4,0.1f);
   data.put(new UserId("Bob"),user1);
   user2.put(item1,1.0f);
   user2.put(item3,0.5f);
   user2.put(item4,0.2f);
   data.put(new UserId("Jane"),user2);
   user3.put(item1,0.9f);
   user3.put(item2,0.4f);
   user3.put(item3,0.5f);
   user3.put(item4,0.1f);
   data.put(new UserId("Jo"),user3);   
   user4.put(item1,0.1f);
   //user4.put(item2,0.4f);
   //user4.put(item3,0.5f);
   user4.put(item4,1.0f);
   user4.put(item5,0.4f);
   data.put(new UserId("StrangeJo"),user4);   
   // next, I create my predictor engine
   SlopeOne so = new SlopeOne(data);
   System.out.println("Here's the data I have accumulated...");
   so.printData();
   // then, I'm going to test it out...
   HashMap<ItemId,Float> user = new HashMap<ItemId,Float>();
   System.out.println("Ok, now we predict...");
   user.put(item5,0.4f);
   System.out.println("Inputting...");
   SlopeOne.print(user);
   System.out.println("Getting...");
   SlopeOne.print(so.predict(user));
   //
   user.put(item4,0.2f);
   System.out.println("Inputting...");
   SlopeOne.print(user);
   System.out.println("Getting...");
   SlopeOne.print(so.predict(user));
 }
 Map<UserId,Map<ItemId,Float>> mData;
 Map<ItemId,Map<ItemId,Float>> mDiffMatrix;
 Map<ItemId,Map<ItemId,Integer>> mFreqMatrix;
 static ItemId[] mAllItems;
 public SlopeOne(Map<UserId,Map<ItemId,Float>> data) {
   mData = data;
   buildDiffMatrix();   
 }
 public Map<ItemId,Float> predict(Map<ItemId,Float> user) {
   HashMap<ItemId,Float> predictions = new HashMap<ItemId,Float>();
   HashMap<ItemId,Integer> frequencies = new HashMap<ItemId,Integer>();
   for (ItemId j : mDiffMatrix.keySet()) {
     frequencies.put(j,0);
     predictions.put(j,0.0f);
   }
   for (ItemId j : user.keySet()) {
     for (ItemId k : mDiffMatrix.keySet()) {
       try {
       float newval = ( mDiffMatrix.get(k).get(j).floatValue() user.get(j).floatValue() ) * mFreqMatrix.get(k).get(j).intValue();
       predictions.put(k, predictions.get(k) newval);
       frequencies.put(k, frequencies.get(k) mFreqMatrix.get(k).get(j).intValue());
       } catch(NullPointerException e) {}
     }
   }
   HashMap<ItemId,Float> cleanpredictions = new HashMap<ItemId,Float>();
   for (ItemId j : predictions.keySet()) {
       if (frequencies.get(j)>0) {
         cleanpredictions.put(j, predictions.get(j).floatValue()/frequencies.get(j).intValue());
       }
   }
   for (ItemId j : user.keySet()) {
        cleanpredictions.put(j,user.get(j));
   }
   return cleanpredictions;
 }
 public Map<ItemId,Float> weightlesspredict(Map<ItemId,Float> user) {
   HashMap<ItemId,Float> predictions = new HashMap<ItemId,Float>();
   HashMap<ItemId,Integer> frequencies = new HashMap<ItemId,Integer>();
   for (ItemId j : mDiffMatrix.keySet()) {
     predictions.put(j,0.0f);
     frequencies.put(j,0);
   }
   for (ItemId j : user.keySet()) {
     for (ItemId k : mDiffMatrix.keySet()) {
       //System.out.println("Average diff between " j " and " k " is " mDiffMatrix.get(k).get(j).floatValue() " with n = " mFreqMatrix.get(k).get(j).floatValue());
       float newval = ( mDiffMatrix.get(k).get(j).floatValue() user.get(j).floatValue() ) ;
       predictions.put(k, predictions.get(k) newval);
     }
   }
   for (ItemId j : predictions.keySet()) {
       predictions.put(j, predictions.get(j).floatValue()/user.size());
   }
   for (ItemId j : user.keySet()) {
     predictions.put(j,user.get(j));
   }
   return predictions;
 }
 public void printData() {
       for(UserId user : mData.keySet()) {
         System.out.println(user);
         print(mData.get(user));
       }
       for (int i=0; i<mAllItems.length; i ) {
           System.out.print("\n" mAllItems[i] ":");
           printMatrixes(mDiffMatrix.get(mAllItems[i]), mFreqMatrix.get(mAllItems[i]));
       }
     }
   private void printMatrixes(Map<ItemId,Float> ratings,
               Map<ItemId,Integer> frequencies) {    
           for (int j=0; j<mAllItems.length; j ) {
               System.out.format(".3f", ratings.get(mAllItems[j]));
               System.out.print(" ");
               System.out.format("d", frequencies.get(mAllItems[j]));
           }
       System.out.println();
   }
 public static void print(Map<ItemId,Float> user) {
   for (ItemId j : user.keySet()) {
     System.out.println(" " j " --> " user.get(j).floatValue());
   }
 }
 public void buildDiffMatrix() {
   mDiffMatrix = new HashMap<ItemId,Map<ItemId,Float>>();
   mFreqMatrix = new HashMap<ItemId,Map<ItemId,Integer>>();
   // first iterate through users
   for(Map<ItemId,Float> user : mData.values()) {
     // then iterate through user data
     for(Map.Entry<ItemId,Float> entry: user.entrySet()) {
       if(!mDiffMatrix.containsKey(entry.getKey())) {
         mDiffMatrix.put(entry.getKey(), new HashMap<ItemId,Float>());
         mFreqMatrix.put(entry.getKey(), new HashMap<ItemId,Integer>());
       }
       for(Map.Entry<ItemId,Float> entry2: user.entrySet()) {
         int oldcount = 0;
         if(mFreqMatrix.get(entry.getKey()).containsKey(entry2.getKey()))
           oldcount = mFreqMatrix.get(entry.getKey()).get(entry2.getKey()).intValue();
         float olddiff = 0.0f;
         if(mDiffMatrix.get(entry.getKey()).containsKey(entry2.getKey()))
           olddiff = mDiffMatrix.get(entry.getKey()).get(entry2.getKey()).floatValue();
         float observeddiff = entry.getValue() - entry2.getValue();
         mFreqMatrix.get(entry.getKey()).put(entry2.getKey(),oldcount 1);
         mDiffMatrix.get(entry.getKey()).put(entry2.getKey(),olddiff observeddiff);         
       }
     }
   }
   for (ItemId j : mDiffMatrix.keySet()) {
     for (ItemId i : mDiffMatrix.get(j).keySet()) {
       float oldvalue = mDiffMatrix.get(j).get(i).floatValue();
       int count = mFreqMatrix.get(j).get(i).intValue();
       mDiffMatrix.get(j).put(i,oldvalue/count);
     }
   }
 }

} class UserId {

 String content;
 public UserId(String s) {
   content = s;
 }
 public int hashCode() { return content.hashCode();}
 public String toString() { return content; }

} class ItemId {

 String content;
 public ItemId(String s) {
   content = s;
 }
 public int hashCode() { return content.hashCode();}
 public String toString() { return content; }

}


C#实现： using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace SlopeOne {

   public class Rating
   {
       public float Value { get; set; }
       public int Freq { get; set; }
       public float AverageValue
       {
           get { return Value / Freq; }
       }
   }
   public class RatingDifferenceCollection : Dictionary<string, Rating>
   {
       private string GetKey(int Item1Id, int Item2Id)
       {
           return (Item1Id < Item2Id) ? Item1Id "/" Item2Id : Item2Id "/" Item1Id ;
       }
       public bool Contains(int Item1Id, int Item2Id)
       {
           return this.Keys.Contains<string>(GetKey(Item1Id, Item2Id));
       }
       public Rating this[int Item1Id, int Item2Id]
       {
           get {
                   return this[this.GetKey(Item1Id, Item2Id)];
           }
           set { this[this.GetKey(Item1Id, Item2Id)] = value; }
       }
   }
    public class SlopeOne
   {       
       public RatingDifferenceCollection _DiffMarix = new RatingDifferenceCollection();  // The dictionary to keep the diff matrix
       public HashSet<int> _Items = new HashSet<int>();  // Tracking how many items totally
       public void AddUserRatings(IDictionary<int, float> userRatings)
       {
           foreach (var item1 in userRatings)
           {
               int item1Id = item1.Key;
               float item1Rating = item1.Value;
               _Items.Add(item1.Key);
               foreach (var item2 in userRatings)
               {
                   if (item2.Key <= item1Id) continue; // Eliminate redundancy
                   int item2Id = item2.Key;
                   float item2Rating = item2.Value;
                   Rating ratingDiff;
                   if (_DiffMarix.Contains(item1Id, item2Id))
                   {
                       ratingDiff = _DiffMarix[item1Id, item2Id];
                   }
                   else
                   {
                       ratingDiff = new Rating();
                       _DiffMarix[item1Id, item2Id] = ratingDiff;
                   }
                   ratingDiff.Value = item1Rating - item2Rating;
                   ratingDiff.Freq = 1;
               }
           }
       }
       // Input ratings of all users
       public void AddUerRatings(IList<IDictionary<int, float>> Ratings)
       {
           foreach(var userRatings in Ratings)
           {
               AddUserRatings(userRatings);
           }
       }
       public IDictionary<int, float> Predict(IDictionary<int, float> userRatings)
       {
           Dictionary<int, float> Predictions = new Dictionary<int, float>();
           foreach (var itemId in this._Items)
           {
               if (userRatings.Keys.Contains(itemId))    continue; // User has rated this item, just skip it
               Rating itemRating = new Rating();
               foreach (var userRating in userRatings)
               {
                   if (userRating.Key == itemId) continue;
                   int inputItemId = userRating.Key;
                   if (_DiffMarix.Contains(itemId, inputItemId))
                   {
                       Rating diff = _DiffMarix[itemId, inputItemId];
                       itemRating.Value = diff.Freq * (userRating.Value diff.AverageValue * ((itemId < inputItemId) ? 1 : -1));
                       itemRating.Freq = diff.Freq;
                   }
               }
               Predictions.Add(itemId, itemRating.AverageValue);               
           }
           return Predictions;
       }
       public static void Test()
       {
           SlopeOne test = new SlopeOne();
           Dictionary<int, float> userRating = new Dictionary<int, float>();
           userRating.Add(1, 5);
           userRating.Add(2, 4);
           userRating.Add(3, 4);
           test.AddUserRatings(userRating);
           userRating = new Dictionary<int, float>();
           userRating.Add(1, 4);
           userRating.Add(2, 5);
           userRating.Add(3, 3);
           userRating.Add(4, 5);
           test.AddUserRatings(userRating);
           userRating = new Dictionary<int, float>();
           userRating.Add(1, 4);
           userRating.Add(2, 4);
           userRating.Add(4, 5);
           test.AddUserRatings(userRating);
           userRating = new Dictionary<int, float>();
           userRating.Add(1, 5);
           userRating.Add(3, 4);
           IDictionary<int, float> Predictions = test.Predict(userRating);
           foreach (var rating in Predictions)
           {
               Console.WriteLine("Item " rating.Key " Rating: " rating.Value);
           }
       }
   }

}


Slope One 的算法复杂度[编辑]

设有“n”个项目，“m”个用户，“N”个评分。计算每对评分之间的差值需要n(n-1)/2 单位的存储空间，最多需要 m n2步. 计算量也有可能挺悲观的:假设用户已经评价了最多 y 个项目, 那么计算不超过n2+my2个项目间计算差值是可能的。 . 如果一个用户已经评价过“x”个项目，预测单一的项目评分需要“x“步，而对其所有未评分项目做出评分预测需要最多 (n-x)x 步. 当一个用户已经评价过“x”个项目时，当该用户新增一个评价时，更新数据库需要 x步.

可以通过分割数据（参照分割和稀疏存储（没有共同评价项目的用户可以被忽略）来降低存储要求，

应用Slope One的推荐系统[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Slope One Predictors for Online Rating-Based Collaborative Filtering
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Daniel Lemire, Anna Maclachlan, Slope One Predictors for Online Rating-Based Collaborative Filtering, In SIAM Data Mining (SDM'05), Newport Beach, California, April 21-23, 2005.
  3. ^ Pu Wang, HongWu Ye, A Personalized Recommendation Algorithm Combining Slope One Scheme and User Based Collaborative Filtering, IIS '09, 2009.
  4. ^ DeJia Zhang, An Item-based Collaborative Filtering Recommendation Algorithm Using Slope One Scheme Smoothing, ISECS '09, 2009.
  5. ^ Slobodan Vucetic, Zoran Obradovic: Collaborative Filtering Using a Regression-Based Approach. Knowl. Inf. Syst. 7(1): 1-22 (2005)
  6. ^ Badrul M. Sarwar, George Karypis, Joseph A. Konstan, John Riedl: Item-based collaborative filtering recommendation algorithms. WWW 2001: 285-295
  7. ^ Greg Linden, Brent Smith, Jeremy York, "Amazon.com Recommendations: Item-to-Item Collaborative Filtering," IEEE Internet Computing, vol. 07, no. 1, pp. 76-80, Jan/Feb, 2003
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