范德蒙矩阵

在线性代数中，范德蒙矩阵的命名来自亚历山大‑泰奥菲尔·范德蒙的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵，例如：

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}$

或以第i行第j列的关系写作：

$V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}$

（部分作者将上述矩阵写成转置后的形式，也就是一整排的 1 不列在左边，而是列在上面。）

n阶范德蒙矩阵的行列式可以表示为：

$\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$

当$\alpha _{i}$各不相同时，$\det(V)$不为零。

上述的行列式又称作判别式。

以行列式的莱布尼茨公式表示

$\det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},$

可以把公式改写为

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},$

S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 m≤n，则矩阵 V 有最大的秩 rank (m)。

参阅

• 拉格朗日多项式
• 朗斯基行列式