伯特兰悖论

伯特兰悖论是指机率论的传统解释所导致的悖论，由约瑟·伯特兰在他的著作《Calcul des probabilités》(1889) 中提出。此悖论描述，当我们分析的机率课题牵涉到无限大的样本空间时，且在使用“每个事件发生的机会皆相同”的原则时不够谨慎，是未必能得到明确或肯定的结果的。

伯特兰悖论的内容

伯特兰悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选圆上的弦，则此弦的长度比三角形的边较长的机率为何？

伯特兰给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同。

1. 

   随机的弦，方法1；红=比三角形的边较长，蓝=比三角形的边较短

   “随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。为了计算问题中的机率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为三分之一。

2. 

   随机的弦，方法2

   “随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。为了计算问题的机率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为二分之一。

3. 

   随机的弦，方法3

   “随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为四分之一。

上述方法可以如下图示。每一个弦都可以被其中点唯一决定。上述三种方法会给出不同中点的分布。方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。

随机的弦的中点，方法1	随机的弦的中点，方法2	随机的弦的中点，方法3
随机的弦，方法1	随机的弦，方法2	随机的弦，方法3

还可以想出许多其他的分布方法。每一种方法，其随机的弦会比三角形的边较长的机率都可能不一样。

传统解答

问题的传统解答认为关键在于“随机”选择弦的方法。若选定了随机选择的方法，问题自然也就会有良好定义的解答。既然不存在一个唯一的选择方法，那么也就不存在一个唯一的解答。伯特兰提出的这三种解答分别对应不同的选择方法，若没有更进一步的资讯，也没有理由认为其中的一个解答会比另一个解答更好。

机率论的传统解释所导致的伯特兰悖论和其他悖论产生了几个更严谨的范规，其中包括频率概率和贝叶斯概率。

参考资料

• Michael Clark. Paradoxes from A to Z. London: Routledge, 2002.