迈尔定理

在数论上，迈尔定理（Maier 1985）是一个关于短区间内的质数数量的定理。而这定理指出克拉梅尔的质数几率模型给出的猜测是错的。

这定理指称若π是素数计数函数，而λ是一个大于1的数，那么下式在x趋近于无限时发散：

${\frac {\pi (x+(\log x)^{\lambda })-\pi (x)}{(\log x)^{\lambda -1}}}$

更精确地讲，上式的上极限大于1，下极限小于1；而在利用波莱尔-坎泰利引理的状况下，克拉梅尔的质数模型则错误地预测说在$\lambda \geq 2$时这式子的极限是1。

证明

Maier利用Buchstab给出的、计算准质数（对于给定的$u$，没有小于$z=x^{1/u}$的质因数的数组成的集合）数量的公式证明了这点。他在证明中并用了Gallagher给出的关于算数数列中质数数量的公式。

Pintz (2007)给出另一个证明，并证明说多数的质数几率模型错误地估计质数定理的一个版本中的均方误差，该均方误差如下：

$\int _{2}^{Y}\left(\sum _{2<p\leq x}\log p-\sum _{2<n\leq x}1\right)^{2}\,dx$

参见

• 迈尔矩阵法

参考资料

• Maier, Helmut, Primes in short intervals, The Michigan Mathematical Journal, 1985, 32 (2): 221–225 [2024-01-09], ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023, doi:10.1307/mmj/1029003189 , （原始内容存档于2020-08-12） 
• Pintz, János, Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes, Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici, 2007, 37: 361–376 [2024-01-09], ISSN 0208-6573, MR 2363833, Zbl 1226.11096, doi:10.7169/facm/1229619660 , （原始内容存档于2020-06-26） 
• Soundararajan, K., The distribution of prime numbers, Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (编), Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005, NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237, Dordrecht: Springer-Verlag: 59–83, 2007, ISBN 978-1-4020-5403-7, Zbl 1141.11043