兰道-拉马努金常数

兰道-拉马努金常数（Landau–Ramanujan constant）是一個和數論有關的常數，對於一正整數x ，若x很大時，小於x且可以表示為二平方數和整數的個數和下式成正比

$x/{\sqrt {\ln(x)}}.$$x/{{\sqrt {\ln(x)}}}.$

二者之間的比例即為兰道-拉马努金常数，分別由愛德蒙·蘭道及拉馬努金所發現。

若用N(x)表示小於於x，可表示為二平方數和整數的個數，則兰道-拉马努金常数K可表示為

$K=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0.76422365358922066299069873125.$$K=\lim _{{x\rightarrow \infty }}{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0.76422365358922066299069873125.$（OEIS中的数列[[OEIS:|]]）

也可表示為以下的欧拉积 :

$K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \prod _{p\equiv 3\mod 4}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}={\frac {\pi }{4}}\quad \prod _{p\equiv 1\mod 4}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}.$$K={\frac 1{{\sqrt 2}}}\quad \prod _{{p\equiv 3\mod 4}}\quad \left(1-{\frac 1{p^{2}}}\right)^{{-1/2}}={\frac \pi 4}\quad \prod _{{p\equiv 1\mod 4}}\quad \left(1-{\frac 1{p^{2}}}\right)^{{1/2}}.$

參照

• 素数计数函数

外部連結

• MathWorld上Landau–Ramanujan Constant的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。