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傅科擺
鐘擺原理

是一種實驗儀器,可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條或竿,和一個錘組成。錘繫在繩的下方,繩的另一端固定。當推動擺時,錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型[编辑]

小角度簡單擺[编辑]

若最高處( )的繩子和最低處(速度最大值)的繩子的角度為 ,符合:

則可使用下列公式算出它的振動週期

週期公式[编辑]

  • 為擺長; 為當地重力加速度)

一擺長為 公尺的單擺,於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動,週期 ,這種單擺稱之為秒擺

公式證明[编辑]

一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 ),繩和鉛直線有夾角 ,繩長為 ,相對於平衡點的位移為

此物體受下列力的影響(下列說明錯誤,繩子的張力是因為擺錘重力引起,任何一瞬間擺錘法向(徑向)合力為零,但切線加速度為

  • 繩子之拉力大小
  • 重力大小

繩子的拉力 有分力




解得

代入

得到

根據廣義相對論可知,

單擺[编辑]

sin θ 取為θ的誤差。

為繩的長度, 為繩和垂直平面的線的交角, 的最大值, 為錘的質量, 表示角度加速度

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響:

  • 錘速率最高是在 時。當錘升到最高點,其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功,整個過程中動能和位能的和不變,機械能守恆。
  • 運動方程為:

注意到不論θ的值為何,運動週期和錘的質量無關。

相當小的時候,,因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動,週期

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程:

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式:

其中

週期可以用級數表示成:

衝擊擺[编辑]

衝擊擺是來用計算子弹速度的實驗室儀器。它的原理為:物件碰撞前後動量守恒,擺運動時能量守恒

衝擊擺和普通擺相似,特別之處它的錘會和射入子弹產生完全非彈性碰撞,即碰撞後兩者會合為一。

將子弹射向停止的錘,使錘和子弹合在一起擺動。設錘質量為,子弹質量和初速度分別為v,錘和子弹碰撞後的速度為u

以下是子弹速度的計算方法:

動量守恒定律

能量守恒定律

解得

倒單擺[编辑]

和台車和倒單擺組成的系統
和台車和倒單擺組成的系統

倒單擺有許多不同的架構,常見的有二種。

最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上,另一端連結重量,此架構類似一般單擺,但因為重量在樞紐點上方,直桿在重量下方,需支持重物不落下,因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。

另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上,透過台車的水平運動來控制擺的位置。

倒單擺在擺直立朝上時可以平衡,不過是不穩定平衡,需要透過控制系統才能維持平衡。

圆錐擺[编辑]


錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時,繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動

複擺(物理擺/compound pendulum)[编辑]

當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時,此擺稱作複擺(物理擺)。由於有質量分佈的緣故,週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量(I)有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為

雙擺(complex pendulum/double pendulum)[编辑]

雙擺系統的一例

雙擺系統是混沌的。

磁性擺[编辑]

和雙擺一樣,磁性擺系統是混沌的。

應用[编辑]

傅科擺[编辑]

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

鐘擺[编辑]

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響,有不同的設計:

參考[编辑]

  • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
  • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005