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傅科擺
鐘擺原理

是一種實驗儀器,可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條或竿,和一個錘組成。錘繫在繩的下方,繩的另一端固定。當推動擺時,錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型[編輯]

小角度簡單擺[編輯]

若最高處(v=0)的繩子和最低處(速度最大值)的繩子的角度為,符合:

則可使用下列公式算出它的振動周期

週期公式[編輯]

公式證明[編輯]

一物體正在擺盪最高處(此時v=0),繩和中間繩有夾角,繩長為,相對於中間擺物的位移為

此物體受下列力的影響

  • 繩子之拉力大小
  • 重力大小

繩子的拉力有分力




解得

代入

得到

根據廣義相對論可知,

簡單擺[編輯]

Simple pendulum height.png
sin θ 取為θ的誤差。

為繩的長度, 為繩和垂直平面的線的交角, 的最大值, 為錘的質量, 表示角度加速度

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響:

  • 錘速率最高是在 時。當錘昇到最高點,其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功,整個過程中動能和位能的和不變。
  • 運動方程為:

注意不論θ的值為何,運動週期和錘的質量無關。

相當小的時候,,因此可得到一條齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動,週期

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程:

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式:

其中

週期可以用級數表示成:

衝擊擺[編輯]

Ballistic pendulum.svg

衝擊擺是來用計算子彈速度的實驗室儀器。它的原理為:物件碰撞前後動量守恆,擺運動時能量守恆

衝擊擺和普通擺相似,特別之處它的錘會和射入子彈產生完全非彈性碰撞,即碰撞後兩者會合為一。

將子彈射向停止的錘,使錘和子彈合在一起擺動。設錘質量為,子彈質量和初速度分別為v,錘和子彈碰撞後的速度為u

以下是子彈速度的計算方法:

動量守恆定律

能量守恆定律

解得

倒單擺[編輯]

Cart-pendulum.png

小車上的倒單擺[編輯]

由一個倒單擺與一個帶有水平平帶的小車組成的系統。

錐擺[編輯]

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時,繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動

複擺[編輯]

複擺系統的一例

複擺系統是混沌的。

磁性擺[編輯]

和複擺一樣,磁性擺系統是混沌的。

應用[編輯]

傅科擺[編輯]

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

鐘擺[編輯]

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響,有不同的設計:

  • 柵形補償擺(Gridiron Pendulum):以不同金屬(鋼和銅)配搭,保持擺的長度不變[1]
  • Graham's pendulum:有一個水銀管柱,保持擺的重心不變
  • 以木製擺[2]
  • Ellicott compensated pendulum:用多個擺的結構配合

參考[編輯]

  • en:Pendulum (mathematics)
    • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
    • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005