卡诺定理

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设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

OOA + OOB + OOC = R + r

其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理,以拉扎尔·卡诺為名。

引理[编辑]

中,之外接圓半徑,且之內切圓半徑,則

證明[编辑]

假設為銳角三角形,之外接圓圓心,三邊之距離分別為,其中之距離,之距離,之距離。連接,在中,根據三角形外心性質,可以得到

所以,可以得到的表示式,

同理,亦可得到的表示式,

因此,

根據引理,即可得證,

此外,若為鈍角三角形,且大於度,其餘符號假設均與上面相同,則可以得到,

所以,

故得證卡諾定理。