奇偶檢驗矩陣

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编码理论裡,線性區塊碼 C奇偶檢驗矩陣英语:parity-check matrix)是描述码字英语codeword的成分间必须满足的线性关系的一个矩阵。它可以用来决定一个特定向量是否为码字,也用在译码算法中。

定义[编辑]

形式上,线性码 C 的奇偶檢驗矩陣 H对偶码 C生成矩阵。这就意味着当且仅当矩阵-向量乘积 Hc = 0(一些作者[1]会写成其等价形式cH = 0)时,码字 c 才会在 C 中。

奇偶檢驗矩陣的行是奇偶检验方程的系数。[2] 也就是說,它們表示每个碼字中的某些數字(成分)如何線性組合可以等於零。例如,奇偶檢驗矩陣

,

紧凑表示了向量 要成为 C 的码字必须满足的奇偶检验方程,

.

根据定义,奇偶检验矩阵直接遵循该码的最小距离为,使得奇偶检验矩阵 H 的任意 d - 1 列都线性无关并且存在 d 列线性相关的最小数 d

建立奇偶檢驗矩陣[编辑]

某一给定碼的奇偶校驗矩陣可以从其生成矩阵导出(反之亦然)。[3] 若一 [n,k] 码的生成矩陣是標準形式

,

则奇偶檢驗矩陣为

,

因為

.

取反是在有限域 Fq 内进行的。注意如果所处的域的特征为 2(即在这个域中 1 + 1 = 0),如在二元码英语binary code中一样,因此 -P = P,所以取反是不需要的。

例如,如果一个二元码的生成矩阵

,

则其奇偶檢驗矩陣就是

.

伴随式[编辑]

对向量空间环境中的任意(行)向量 xs = Hx 称为 x伴随式英语Syndrome decoding。当且仅当 s = 0 时向量 x 为码字。计算伴随式是伴随式译码英语syndrome decoding算法的基础。[4]

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 比如 Roman 1992,p. 200
  2. ^ Roman 1992,p. 201
  3. ^ Pless 1998,p. 9
  4. ^ Pless 1998,p. 20

參考文獻[编辑]