尤尔卡特-里歇特定理

尤爾卡特-里歇特定理（Jurkat–Richert theorem）是篩法上的數學定理，這定理是關於歌德巴赫猜想的陳氏定理的關鍵部分。這定理在1965年由沃爾夫岡·B·尤爾卡特（Wolfgang B. Jurkat）及汉斯-埃贡·里歇特所證明。

定理陳述

以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德（Harold G Diamond）與哈伯斯塔姆。其他的公式表示可見於尤爾卡特與里歇特、哈伯斯塔姆與里歇特、以及梅尔文·B·内桑森等人的結果。

假定$A$是一個整數的有限序列，而$P$是質數集合，設$A_{d}$為$A$中可被$d$除盡的元素構成的集合，並設$P(z)$為$P$中小於$z$的質數的乘積，然後再設$\omega (d)$為一個使得$\omega (p)/p$大致與$A$中可被$p$除盡的元素成比例的積性函數。然後$X$為$A$中元素的大致個數，則其餘項可表示如下：

$r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.$

設$S(A,P,z)$為$A$中與$P(z)$彼此互質的元素的個數，則有下式：

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).$

再設$\nu (m)$為$m$彼此相異的質因數的數量，並設$F_{1}$及$f_{1}$為滿足特定微分差分方程的方程式。（可參見戴蒙德與哈伯斯塔姆的書以知其定義與性質）現在假定篩選密度的維度為一，也就是在存在常數$C$，使得$2\leq z<w$的情況下，可得以下關係式：

$\prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).$

（戴蒙德與哈伯斯塔姆的書將此定理延伸到維度大於一的狀況）那麼尤爾卡特—里歇特定理就表示說對於任意滿足$2\leq z\leq y\leq X$的數$y$與$z$而言，有以下關係式：

$S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|$

及

$S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.$