# 微磁学

1. 静微磁学：通过最小化磁学能量，得到系统的稳定解；
2. 动微磁学：通过解LLG方程，得到系统的动力学解。

## 连续性假设

${\displaystyle \mu _{j},j=1,2,\cdots ,N}$

${\displaystyle M(r)={\frac {\sum _{j=1}^{N}\mu _{j}}{dV}}}$

${\displaystyle |M(r)|=M_{s}}$

## 静微磁学

${\displaystyle E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}}$

### 各向异性能

${\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}$

### 赛曼能

${\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}$

### 退磁场能

${\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }$
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {M} {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} V}$

## 动微磁学

### 等效场

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}$

### LLG方程

LLG方程是磁矩的动力学方程。它描述了磁矩在等效场下的拉莫爾進動，以及一个阻尼项。 LLG方程可表示为

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}})}$

## 历史

1963年William Brown发表了一篇关于反平行磁畴结构的文章，代表了这一领域的开端[6]

<references>