模糊数学

模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

模糊集

定义和表示

给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射 $\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$ 称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集 ^[a]，记为 A 。映射（函数） μ_A(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A 的隶属函数。对于每个 x ∈ U ， μ_A(x) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：

解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
Zadeh 记法，例如 $A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$ 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
序偶法，例如 $A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$ ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相关概念

模糊集 A 的承集或支集记为 ${\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}$ 。
模糊集 A 的核记为 ${\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}$ 。
模糊集 A 的高度记为 ${\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}$ 。
模糊集 A 的深度记为 ${\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}$ 。

模糊度

一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质：

清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）
模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。
对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(A^c) = D(A)。（补集的模糊度相等。）
可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的^[1]，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$
其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊集的运算

各种算子

Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

${\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}$

代数算子（概率和、代数积）

${\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}$

有界算子

${\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}$

Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}$

Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}$

Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

${\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}$

λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ [0,1] 是参数

${\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}$

Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是参数

${\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}$

算子的性质

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子	结合律	交换律	分配律	互补律	同一律	幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

线性补偿是指： $(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$ ^[2]

算子的并运算	幂等律	排中律	分配律	结合律	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集与经典集的关系

截集与截积

设 $A\in {\mathcal {F}}(U)$ ，任取 $\lambda \in [0,1]$ ，则

A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}

，

称 A_λ 为 A 的 λ 截集，而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 A_Sλ，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A₁ 为 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，则称 A 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：
设 λ ∈ [0,1]，A ∈ F(U)，则 ∀ u∈U，λ 与 A 的截积（或称为 λ 截集的数乘，记为 λA）定义为：

(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}

根据定义，截积仍是 U 上的模糊集合。

分解定理与表现定理

分解定理：
设 A∈F(U)，则

A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }

即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λA_λ} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：
设 H 为 U 上的任何一个集合套，则

A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )

是 U 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有
（1） A_Sλ = ∪_α>λ H(α)
（2） A_λ = ∩_α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊集之间的距离

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

{\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}

贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

最大最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}

算术平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}

几何平均最小贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}

指数贴近度

\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}

模糊关系

模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。

定义

设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 α。特别地：

若 ∀ (x,y) ∈ U × U，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I
若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记为 0
若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系，记为 E

模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算转置，定义为

R^T(x,y) = R(y,x)

易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。^[3]

关系以及关系的合成的矩阵表达

关系的合成：
对于从 U ^x-m 到 V ^y-p 的关系 R，以及从 V ^y-p 到 W ^z-n 的关系 S，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为

\displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。

例子：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

从 U 到 V 的模糊关系 R

(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3

从 V 到 W 的模糊关系 S

(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0   (b,β)=1
(c,α)=0   (c,β)=0.9

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：

R	a	b	c
1	0.7	0.5	0
2	1	0	0
3	0	1	0
4	0	0.4	0.3

S	α	β
a	0.6	0.8
b	0	1
c	0	0.9

R · S	α	β
1	0.6	0.7
2	0.6	0.8
3	0	1
4	0	0.4

模糊关系与分类

模糊等价关系定义：
设 U 中的模糊关系 R 满足

1. 自反性: ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
2. 对称性: ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
3. 传递性: ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时，R(x , z) ≥ λ

则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截关系 R_λ 是 U 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R² ⊆ R。

分类：

如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 λ 截集，即可得到这个水平上的分类。
如果模糊关系是相似关系，计算 R^* ≡ R^{2^k} = R^{2^(k+1)}，则 R^* 可被证明是等价关系。

模糊推理

注释

^ 要注意：严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

參考文獻

^ 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。
^ Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。
^ 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。

[1] 要注意：严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

[2] 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。

[3] Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。

[4] 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。

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