关系 (数学)

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數學上,關係是對如等於 =<二元關係的廣義化。

簡介[编辑]

參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係,其實際情形如下:

關係S : X認為Y喜歡Z
X Y Z
韻如 柏豪 佳馨
正乾 韻如 柏豪
正乾 正乾 韻如
佳馨 佳馨 佳馨


上表的每一行都代表著一個事實,並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如,第一行即表示「韻如認為柏豪喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S,其中:

P = {韻如,柏豪,正乾,佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對:

S = {(韻如,柏豪,佳馨), (正乾,韻如,柏豪), (正乾,正乾,韻如), (佳馨,佳馨,佳馨)}

若較不嚴謹些,通常會將S(韻如,柏豪,佳馨)用來指上表中第一行的同一種關係。關係S為「三元」關係,因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件(即關係為{X,Y,Z}的笛卡兒積的子集),包含了表中所有的訊息。因此,數學上來說,關係純粹是個集合

形式定義[编辑]

k元關係在數學上有兩種常見的定義。

定義1在集合X1,…,Xk上的關係L是指集合的笛卡兒積子集,寫成LX1 ×…× Xk。因此,在此定義下,k元關係就是個k元組的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣-說「某某為一n元組」即表示此一某某數學物件是由n組數學物件的描述來判定的。在於集合k上的關係L中,會有k+1件事要描述,即k個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下,L可以說是一個k+1元組。

定義2在集合X1,…,Xk上的關係L是一個k+1元組L = (X1,…, Xk, G(L)),其中G(L)是笛卡兒積X1 ×…× Xk的子集,稱之為L的「關係圖」。

例子[编辑]

可除性[编辑]

兩個正整數nm之間「可除性」的關係是指「n 整除m」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它,寫成「n|m」來表示「n整除m」。

若要以集合來代表這二元關係,即是設正整數的集合P = {1,2,3,…},然後可除性就是一個在P上的二元關係D,其中D為一包含了所有n|m的有序對 (n,m)。

例如,2為4的因數及6為72的因數,則可寫成2|4和6|72,或D(2,4)和D(6,72)。

共面[编辑]

對三維空間內的線L,存在一個三條線為共面的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元對稱關係

換句話說,若 P(L,M,N)表示線 L,M,N共面,且Q(L,M)表示線 L,M共面,則Q(L,M),Q(M,N)和Q(N,L)不能合起來代表P(L,M,N)也是對的;但相反則是正確的(三條共面的線之中的一對必然也會是共面的)。其中有兩個幾何上的反例。

第一個是,如x軸、y軸和z軸之類共點(即交於同一點)的三條線。另一個則是在任一三角柱上平行的三邊。

若要正確,則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來,每對線的共面才會意指三條線的共面。

關係的性質[编辑]

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括:自反性反自反性对称性反对称性传递性。确定一个关系是否具有这些性质,可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n元谓词[编辑]

n元谓词就是含有n个变量布尔值函数

由于上述的n元关系定义了 (x1, ..., xn)属于R时唯一的n元谓词(反之亦然),关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的:

多重关系[编辑]

许多事物有多个元素两两关系。例如:

1,无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11,就是所有素数之间没有公共因数,我们知道有无穷的素数两两互素;

2,无穷个区域两两相连。例如,一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连,有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连,有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连,...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。