比例性质

比例性质是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。

合比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$。

证明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{b}}+1={\frac {c}{d}}+1$

$\therefore {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$

证毕

分比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$。

证明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{b}}-1={\frac {c}{d}}-1$

$\therefore {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$

证毕

合分比性质

表述

在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

数学表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$。

证明

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {bk+b}{bk-b}}={\frac {k+1}{k-1}}$

${\frac {c+d}{c-d}}={\frac {dk+d}{dk-d}}={\frac {k+1}{k-1}}$

$\therefore {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$

证毕

等比性质

表述

在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等

数学表示

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。

证法一

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {bk+dk}{b+d}}=k$

$\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

证毕

证法二

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

$\therefore {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$

由合比性质${\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}$

$\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}$

即${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

证毕

推论

已知$a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$，且有$b_{i}\neq 0$，如果${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$，则有${\frac {\sum _{i}^{n}{a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$。

比例的线性组合

由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。

合分比性质的线性组合推论

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}$。

证明：

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}$

${\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}={\frac {\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}$

$\therefore {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}$

证毕

等比性质的线性组合推论一

已知$a,b,c,d\in \mathbb {C}$，且有$b\neq 0,d\neq 0$，如果${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则有${\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。

证明：

$\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

令$k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

${\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}}=k$

$\therefore {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

证毕

等比性质的线性组合推论二

已知$a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$，且有$b_{i}\neq 0$，如果${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$，则有${\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$。

证明：

令$k={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$，则$a_{i}=b_{i}\cdot k$

${\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}kb_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {k\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}=k$

$\therefore {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$

证毕