消失量之鬼

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消失量之鬼一词对许多微积分学生来说都不陌生。这一词组由乔治·贝克莱杜撰,首次出现在他1734年的著作《分析学家》(The Analyst)。贝克莱用这个词对牛顿莱布尼茨发展的新理论的根基进行严厉的批判。

概念簡述[编辑]

考慮下例:函數 y = x2可通过如下商数进行微分:

\frac{\Delta y}{\Delta x}

y的增量(通常用Δy表示)除以x的增量(通常用Δx表示)。这个表达式可以通过代数方法化简为:

2x+\Delta x.\,

为了得到原函数对应的导数,也就是2x,我们必须将无穷小量Δx去掉。因此,这个建立商数时被假设为非零(否则商数无意义)的无穷小量 ,在计算的最后一步却竟然被视为零而去除了。总之,一个“消失量”(Δx = 0),却会在某些情况下“幽灵般地”出现(Δx ≠ 0)。贝克莱认为,这样一个矛盾将侵蚀微积分这门新学科的逻辑根基。

解決詭論的方法[编辑]

关于这个悖论,其中一个可能的解决方案是建立在超实分析中的standard part function“st”之上的(参见非标准微积分)。即:将导数定义为:

{\rm st} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)

替代原来的无穷小量定义。亚伯拉罕·罗宾逊在他1966年的著作《非標準分析》中写下如下的一段话:

这本书将证明莱布尼茨的理论是完全正确的,而这些理论将引出一个新奇而终将硕果累累的、通向经典分析和许多其它数学分支的研究方法。这种方法的关键就是详尽分析数学语言和数学结构之间的关系;而这两者之间的关系,又正是当代模型理论的基础。

参见[编辑]

  • David R. Wilkins'的网页上的分析学家。内有指向贝克莱同年代人物的评论的链接。