真因子和數列

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選擇一個正整數k作為一個數列的開首,數列的之後的項都是上一項的真因子之和(因數函數\sigma_1),即:

  • s_0 = k
  • s_n = \sigma_1(s_{n-1}) - s_{n-1}

這樣組成的數列稱為真因子和數列(aliquot sequence)。

例如取10為首項,之後是1+2+5=8, 1+2+4=7, 1=1(任何質數的唯一真因子都是1,1沒有真因子)。

真因子和數列有幾種可能的發展方式:

  • 在1結束:好像上面的10、任何質數、18(18, 1+2+3+6+9=21, 1+3+7 = 11, 1) ……(OEIS:A080907
  • 循環不斷:對於完全數、相親數、相親數鏈的成員,真因子和數列是循環的。如果有些數本身並不屬於上述提到那類數,卻因為數項中有些項的真因子之和屬於那類數,而有循環的真因子和數列,它們稱為aspiring numbers(OEIS:A063769)。譬如:
    1. 完美數28=1+2+4+7+14:28, 28, 28...
    2. 四環相親數鏈的成員1264460:1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
    3. aspiring number 95:95, 25, 6, 6, 6,
  • 不循環地一直延續下去:19世紀數學家歐仁·查理·卡塔蘭猜想任何真因子和數列都是按上面兩種方式延續下去,但人們不但未能證明或推翻這個猜想,而且不能確定一些整數的真因子和數列。在1至1000之間,便有五個這樣的數,它們稱為Lehmer Five —— 276, 552, 564, 660, 966。截止2007年7月,1至105間有909個這樣的數,1至106間有9466個。

外部連結[编辑]