葛侖斯坦環

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交換代數中,一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環(英文:Gorenstein ring)是對每個素理想局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例,它與凝聚對偶性定理(塞爾對偶性定理的推廣)有密切關係。

葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。

其它定義[编辑]

對於局部環 (R, \mathfrak{m}, k),葛侖斯坦局部環的古典定義是:R 是科恩-麥考利環,而且存在 \mathfrak{m} 中的 R-正則序列,使之生成一個不可約理想。在 R 為有限維諾特環時,下述性質等價:

  • R 的內射維度有限,記為 n
  • 存在 n \in \N,當 i \neq n 時,\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0,而且 \operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k
  • 存在 n \in \N,當 i > n 時,\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0
  • 存在 n \in \N,對某個 i > n\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0
  • 存在 n \in \N,當 i<n 時,\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0,而且 \operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k

此時 Rn-維葛侖斯坦環。

非交換情形[编辑]

若一個環(不一定交換)視為左 R-模及右 R-模的內射維度皆有限,則稱之為葛侖斯坦環。

例子[编辑]

文獻[编辑]

  • Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
  • N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6