3SUM

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未解決的計算機科學問題是否存在一个算法,能够在)的时间复杂度内解决3SUM问题? Question mark2.svg

计算复杂度理论中, 3SUM问题是指如下的问题:给定一个包含n个实数的集合,判断其中是否包含3个和为0的元素。问题也可以推广到一个更一般化的版本,rSUM,是要求判断集合中是否存在r个数的和为0。3SUM问题可以很容易地在的时间复杂度内解决。对于某些特化的计算模型,这已经达到了它们的复杂度下界。

人们曾经猜想任何3SUM问题的确定性算法都至少需要的时间复杂度。然而在2014年,最初的3SUM被Allan Grønlund和Seth Pettie否决了。他们给出了一个能在能在的时间复杂度内求解3SUM问题的确定性算法。[1]目前仍然有人猜想3SUM是不可能在的时间复杂度内解决的。

二次时间复杂度算法[编辑]

设输入数据存储与数组,3SUM问题可以通过散列表在平均的时间复杂度内解决。方法是先将S中的元素全部插入到一个散列表中,然后对于每一个数组下标对,检查是否在散列表中即可。

一个更好的方法是,先将输入数据排序,然后用一种巧妙的方法测试所有可能的输入组合,而避免使用二分查找。这种办法即使在最坏情况下也可以保证的时间复杂度,它的伪代码如下所示:[2]

 sort(S);
 for i=0 to n-3 do
    a = S[i];
    start = i+1;
    end = n-1;
    while (start < end) do
       b = S[start]
       c = S[end];
       if (a+b+c == 0) then
          output a, b, c;
          // Continue search for all triplet combinations summing to zero.
           end = end - 1
       else if (a+b+c > 0) then
          end = end - 1;
       else
          start = start + 1;
       end
    end
 end

下面的例子展示了算法在一个较小的数组上是如何执行的。变量a的当前值以绿色标记,而bc的当前值以红色标记。

 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-25)
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-22)
 . . .
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-7)
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-7)
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==-3)
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==2)
 -25 -10 -7 -3 2 4 8 10  (a+b+c==0)

我们可以从上面的过程中看出这个算法为什么是正确的。假设3SUM问题有一组解a + b + c = 0。首先单向移动的最左侧下标必然会到达a,而之后剩下的两个下标会有一个先遇到b或者c,而根据a+b+c > 0时移动右侧下标,反之移动左侧下标的规则,在此之后先遇到的下标会保持不动,直到我们移动另外一个下标找到对应的那一组解为止。因此对于3SUM问题的任意一个解最终都会被这个算法发现。

变体[编辑]

总和非零[编辑]

用下列方法可以搜索出集合中和为任意常数C的三个元素:

  • 将集合中每个元素分别减去C/3;
  • 对新集合使用3SUM算法求解。

三个不同数组[编辑]

我们也能从三个整数集合中分别找出一个元素使其和为零,即对于给定的三个整数集合X、Y、Z,找出三个数aX, bY, cZ使得。下文记单集合的3SUM问题为3SUM×1,三集合的3SUM问题为3SUM×3,则3SUM×3按下列步骤即可转化为3SUM×1:

  • XYZ集合中所有元素,取
  • SXYZ的并集;
  • 用3SUM×1的解法求出满足的三个元素;
  • 因为总和的LSD(least significant digit,最低位)为零,故a', b', c'的LSD一定为1、2、7(不一定按顺序)。不失一般性,设a', b', c'的LSD分别为1、2、7;
  • 最终解即为

根据第一步中的变换,一定有aX, bY, cZ[3]


参考资料[编辑]

  1. ^ Gronlund, A.; Pettie, S. Threesomes, Degenerates, and Love Triangles. 2014 IEEE 55th Annual Symposium on Foundations of Computer Science: 621. 2014. ISBN 978-1-4799-6517-5. doi:10.1109/FOCS.2014.72. 
  2. ^ Visibility Graphs and 3-Sum by Michael Hoffmann
  3. ^ For a reduction in the other direction, see Variants of the 3-sum problem.