敏感度 （sensitivity）也稱為敏感度函數 或靈敏度 ，是控制系統 的特性，是指控制系統容易受外部干擾 或是參數變異而影響的程度。敏感度越大，表示控制系統容易被干擾或變異所影響。控制器的參數一般會配合製程特性，因為製程可能會變化，因此控制器的參數需經過考量，減少因製程動態特性變化而影響閉迴路 控制系統的特性。更進一步來說，敏感度函數對分析干擾如何影響系統上很重要。
令
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
C
(
s
)
{\displaystyle C(s)}
拉氏轉換 ，回授為增益為1的負回授。
閉迴路傳遞函數是
T
(
s
)
=
G
(
s
)
C
(
s
)
1
+
G
(
s
)
C
(
s
)
.
{\displaystyle T(s)={\frac {G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}}.}
將
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
d
T
d
G
=
d
d
G
[
G
C
1
+
G
C
]
=
C
(
1
+
C
G
)
2
=
S
T
G
,
{\displaystyle {\frac {dT}{dG}}={\frac {d}{dG}}\left[{\frac {GC}{1+GC}}\right]={\frac {C}{(1+CG)^{2}}}=S{\frac {T}{G}},}
其中
S
{\displaystyle S}
S
(
s
)
=
1
1
+
G
(
s
)
C
(
s
)
{\displaystyle S(s)={\frac {1}{1+G(s)C(s)}}}
稱為敏感度函數 （sensitivity function）。
|
S
|
{\displaystyle |S|}
有外擾的控制系統方塊圖 敏感度函數也可以說明外部干擾對輸出的傳遞函數。事實上，假設在系統輸出後，有一個增加的擾動量n ，系統的閉迴路傳遞函數是
Y
(
s
)
=
C
(
s
)
G
(
s
)
1
+
C
(
s
)
G
(
s
)
R
(
s
)
+
1
1
+
C
(
s
)
G
(
s
)
N
(
s
)
.
{\displaystyle Y(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}R(s)+{\frac {1}{1+C(s)G(s)}}N(s).}
輸出Y(s)對外部干擾N(s)的傳遞函數就是出現在上式的敏感度函數
S
{\displaystyle S}
|
S
|
{\displaystyle |S|}
|
S
(
j
ω
)
|
{\displaystyle |S(j\omega )|}
|
S
(
j
ω
)
|
{\displaystyle |S(j\omega )|}
[ 1]
控制系統中，敏感度函數的最大值需要受到限制。正規敏感度峰值（nominal sensitivity peak）
M
s
{\displaystyle M_{s}}
[ 2]
M
s
=
max
0
≤
ω
<
∞
|
S
(
j
ω
)
|
=
max
0
≤
ω
<
∞
|
1
1
+
G
(
j
ω
)
C
(
j
ω
)
|
{\displaystyle M_{s}=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|S(j\omega )\right|=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|{\frac {1}{1+G(j\omega )C(j\omega )}}\right|}
常見的要求是要
M
s
{\displaystyle M_{s}}
敏感度
M
s
{\displaystyle M_{s}}
奈奎斯特图 距臨界點
−
1
{\displaystyle -1}
M
s
{\displaystyle M_{s}}
1
M
s
{\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}
−
1
{\displaystyle -1}
1
M
s
{\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}
敏感度圓 （sensitivity circle）。
^ K.J. Astrom, "Model uncertainty and robust control," in Lecture Notes on Iterative Identification and Control Design. Lund, Sweden: Lund Institute of Technology, Jan. 2000, pp. 63–100.
^ K.J. Astrom and T. Hagglund, PID Controllers: Theory, Design and Tuning, 2nd ed. Research Triangle Park, NC 27709, USA: ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 1995.
![{\displaystyle {\frac {dT}{dG}}={\frac {d}{dG}}\left[{\frac {GC}{1+GC}}\right]={\frac {C}{(1+CG)^{2}}}=S{\frac {T}{G}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47f4a15e8eb43b63cc1b4538e4a42f79849a395)
