Bäcklund变换

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Bäcklund变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系[1]

偏微分方程1:  F_1(u,x,t,u_x,u_t,u_xx,u_tt,u_xt,u_tt)=0

偏微分方程2: F_2(w,xi,eta,w_xi,w_eta,w_xi,xi,w_eta,eta)=0

  phi[1](u,x,t,u_x,u_t,w,xi,eta,w_xi,w_eta)=0

  phi[2](u,x,t,u_x,u_t,w,xi,eta,w_xi,w_eta)=0

Bäcklund变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家巴克隆德发现Sine-Gordon方程的不同解 u、v

 u_{xt} = \sin u.\,
 v_{xt} = \sin v.\,


之间 有如下关系:[2]

\begin{align}
v_x & = u_x - 2\beta \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\
v_t & = -u_t + \frac{2}{\beta} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)
\end{align} \,\!


这就是Sine-Gordon方程的Bäcklund自变换。

将Bäcklund自变换第一式对t取微商,二式对x微商:

bt1 := (1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt} = \beta*cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_t+(1/2)*v_t)

bt2 := (1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt} = cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_x+(1/2)*v_x)/\beta

消除 v即得 u_{xt} = \sin u.\,

消除u项即得

 v_{xt} = \sin v.\,

Bäcklund变换常用于求Sine-Gordon方程高维广义Burger I型方程高维广义Burger II型方程的精确解:[3]

解Sine-Gordon方程[编辑]

Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2


利用Sine-Gordon方程的自Bäcklund变换解Sine-Gordon方程:

由Bäcklund自变换v_x  = u_x - 2\beta \sin( \frac{u+v}{2} ) 令 v=0,得

u_x = 2\beta \sin \Bigl( \frac{u}{2} \Bigr),显然

2*\beta = u[x]/sin((1/2)*u),两边对x 积分,得:

2*\beta*x = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))

对Bäcklund自变换第二式作同样运算得:

2*t/\beta = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u)) 经过三角函数运算,二式简化为

2\beta*x = 2*ln(tan(u/4))

2t/\beta = 2*ln(tan(u/4))

二式相加得:

2*beta*x+2*t/beta = 4*ln(tan((1/4)*u)),

分离u得Sine-Gordon方程的一个解析解:

u(x,t)=4*arctan(e^{\frac{\beta^2*x+t}{2\beta}})

又从2*t/\beta = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u)) 直接接求u得另外两个解析解:

u(x,t)=2*arctan(2*exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta)/(1+(exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2))

u(x,t)=-2*arctan(((exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2-1)/(1+(exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2))

参考文献[编辑]

  1. ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
  2. ^ 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页 科学出版社 2007年
  3. ^ 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页 科学出版社 2007年