Bäcklund变换

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Bäcklund变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系[1]

偏微分方程1:

偏微分方程2:

Bäcklund变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家巴克隆德发现Sine-Gordon方程的不同解u、v

之间有如下关系:[2]

这就是Sine-Gordon方程的Bäcklund自变换。

将Bäcklund自变换第一式对t取微商,二式对x微商:

消除v即得

消除u项即得

Bäcklund变换常用于求Sine-Gordon方程高维广义Burger I型方程高维广义Burger II型方程的精确解:[3]

解Sine-Gordon方程[编辑]

Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2

利用Sine-Gordon方程的自Bäcklund变换解Sine-Gordon方程:

由Bäcklund自变换令v=0,得

,显然

,两边对x积分,得:

对Bäcklund自变换第二式作同样运算得:

经过三角函数运算,二式简化为

二式相加得:

分离u得Sine-Gordon方程的一个解析解:

又从 直接接求u得另外两个解析解:

参考文献[编辑]

  1. ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
  2. ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年
  3. ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年