Mitchell–Netravali滤波器

Mitchell–Netravali滤波器或BC–样条是一组主要用于计算机图形学的重建滤波器，例如，可被用于抗锯齿或缩放光栅图形。它们在图像编辑程序中也被称为双三次滤波器，因为它们是二维三次样条。

定义

Mitchell–Netravali滤波器的图，带有参数B = C = 1/3 。

Mitchell–Netravali滤波器是作为对重建滤波器失真（artifacts）调查的一部分而被设计的。滤波器是具有四像素宽支撑的分段三次滤波器。从这个系列中排除不合适的滤波器后，例如不连续的曲线，仍然存在两个参数B和C ，通过它们可以配置Mitchell–Netravali滤波器。滤波器定义如下：

$k(x)={\frac {1}{6}}{\begin{cases}{\begin{array}{l}(12-9B-6C)|x|^{3}+(-18+12B+6C)|x|^{2}\\\qquad +(6-2B)\end{array}}&{\text{, if }}|x|<1\\{\begin{array}{l}(-B-6C)|x|^{3}+(6B+30C)|x|^{2}\\\qquad +(-12B-48C)|x|+(8B+24C)\end{array}}&{\text{, if }}1\leq |x|<2\\0&{\text{其他情况}}\end{cases}}$

通过分离构造 Mitchell–Netravali滤波器的二维版本有可能的。在这种情况下，滤波器可以被一维滤波器的一系列插值代替。从四个相邻像素的颜色值$P_{0}$, $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$然后计算颜色值$P(d)$如下：

${\begin{aligned}P(d)&\textstyle =\left((-{\frac {1}{6}}B-C)P_{0}+(-{\frac {3}{2}}B-C+2)P_{1}+({\frac {3}{2}}B+C-2)P_{2}+({\frac {1}{6}}B+C)P_{3}\right)d^{3}\\&\textstyle +\left(({\frac {1}{2}}B+2C)P_{0}+(2B+C-3)P_{1}+(-{\frac {5}{2}}B-2C+3)P_{2}-CP_{3}\right)d^{2}\\&\textstyle +\left((-{\frac {1}{2}}B-C)P_{0}+({\frac {1}{2}}B+C)P_{2}\right)d\\&\textstyle +{\frac {1}{6}}BP_{0}+(-{\frac {1}{3}}B+1)P_{1}+{\frac {1}{6}}BP_{2}\\\end{aligned}}$

$P$介于$P_{1}$和$P_{2}$ ; $d$是$P_{1}$和$P$之间的距离。

主观效果

如下图所示，参数B和C的某些选择可能会导致各种失真。研究人员推荐参数数值来自$B+2C=1$ （虚线）家族和尤其是$\textstyle B=C={\frac {1}{3}}$作为一个令人满意的妥协。

使用各种 Mitchell-Netravali 滤波器重建图像的主观外观。

实现

以下参数导致常见图像编辑程序中使用的众所周知的三次样条

B	C	三次样条	常见的实现
0	Any	Cardinal splines
0	0.5	Catmull-Rom spline	GIMP中的双三次滤波器
0	0.75	Unnamed	Adobe Photoshop中的双三次滤镜
1/3	1/3	Mitchell–Netravali	ImageMagick中的 Mitchell滤波器
1	0	B样条	Paint.NET中的双三次滤波器

例子

• 
  在GIMP(Catmull-Rom) 中使用双三次滤波器进行放大
• 
  在Paint.NET（B样条）中使用双三次滤波器进行放大

参阅

• 振鈴效應
• 各向异性过滤