Vizing定理

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Vizing定理圖論中的定理。它描述了邊著色數的關係。

定理陳述[编辑]

Vizing定理:任意(簡單, 無向) G 的邊著色數 (edge chromatic number, χ′(G)) 等於 Δ(G) 或 Δ(G) + 1,其中 Δ(G) 指圖 G 中最大的度。

分類法[编辑]

由Vizing定理可知χ′(G)=Δ(G) 或 Δ(G) + 1。若為前者,稱G第一類圖(Class 1),否則稱為第二類圖 (Class 2)。雖然只有兩類,但Holyer (1981)證明了,確定任意圖屬於哪一類是一個NP完全問題。

不過,對於特定類型的圖也有部分的解答。比如對於簡單平面圖Vizing (1965)自己證明了,如果Δ(G)≥8 則是第一類的,但對於Δ(G)=2,3,4,5 的情況則有第二類圖存在:把正多面體的其中一邊截成兩條,即可得到 Δ(G)=3,4,5 的平面圖,他們是第二類的;而任何長度是奇數的(比如三角形)就是 Δ(G)=2 的第二類圖。對於剩下的兩種情況,Vizing提出了猜想:

  • 平面圖Vizing猜想:

※任何簡單平面圖如果 Δ(G)≥6 (或7),則是第一類的。(Vizing 1965

在 Δ(G)≥7 的情形,Sanders & Zhao (2001) 給出了肯定的結果。因此只剩下 Δ(G)≥6 的情形尚待解決。

不過一般來講,"大多數"的圖都是第一類的。[來源請求]

相关[编辑]

參考資料[编辑]