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{{noteTA
|T=zh-hans:幺半范畴;zh-hant:么半範疇;
|1=zh-hans:幺半; zh-hant:么半;
}}

'''張量範疇'''（tensor category），或曰'''幺半範疇'''（monoidal category）， 直覺地講，是個配上[[張量積]]的[[阿貝爾範疇]]（abelian category），可當作[[环 (代数)|環]]的[[範疇化]]。

==定義==
[[数学|數學]]中，一個'''張量範疇'''（tensor category，或稱'''幺半範疇''' monoidal category）是一個包含單一個對象的[[雙範疇]]）bicategory）。
更具體的描述：一個'''張量範疇'''是
*一個[[範疇論|範疇]] <math>\mathbb C</math>;
*被賦予'''張量積'''，即一個二元函子
:<math>\otimes: \mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C</math>;
*被賦予一個'''單位對象''' <math>I</math>;
*被賦予三組[[自然同構映射]]：
**'''結合子'''<math>\alpha</math>: <math>\alpha_{A,B,C}: (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C)</math>;
**'''左/右單位子''': 自然同構映射 <math>\lambda</math>, <math>\rho</math>:
:<math>\lambda_A: I\otimes A\to A</math>,
:<math>\rho_A: A\otimes I\to A</math>;
* 滿足以下'''相容條件''':
:每<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> <math>\in</math> <math>\mathbb C</math>, 
:[[File:monoidal-category-pentagon.png]]
:和
:[[File:monoidal-category-triangle.png]]
:都交換.///

在這以上兩道相容條件下，任何以''結合子'',''左右單位子''和''張量積''組成的圖表都交換，因為
Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem):
''每個幺半範疇都 幺半[[範疇等價性|等價]](monoidally equivalent) 於一'''嚴格幺半範疇'''（見下）.

== 嚴格幺半範疇 ==
'''嚴格幺半範疇'''('''strict monoidal category''') 
是個幺半範疇 ，其自然態射  <math>\alpha</math>, <math>\lambda</math> 和 <math>\rho</math> 都是恆等影射.

取任一 範疇 <math>\mathbb C</math>, 我们可構築其 '''自由嚴格幺半範疇''' 
<math>\Sigma(\mathbb C)</math>:
*'''對象'''：其每一'''對象'''是一串由<math>\mathbb C</math>裡面的對象組成之有限序列 <math>(A_1,\ldots, A_n</math>)；
*''' 態射'''：當且僅當<math>n=m</math>時，我们在二個對象 <math>(A_1,\ldots, A_n)</math>  和   <math>(B_1,\ldots, B_m)</math> 之間定義 ''' 態射''':每 <math>\Sigma(\mathbb C)</math>-態射 是一串由 <math>\mathbb C</math>-態射組成的有限序列 <math>(f_1:A_1\to B_1, \ldots, f_n:A_n\to B_n)</math> ；
*'''張量積'''： 二個<math>\Sigma(\mathbb C)</math>-對象<math>(A_1,\ldots, A_n)</math> 及 <math>(B_1,\ldots, B_m)</math>之'''張量積'''，  我们定義為 此二有限序列之串接(concatenation) <math>(A_1,\ldots, A_n, B_1,\ldots, B_m)</math> ； 同樣地任何二 <math>\Sigma(\mathbb C)</math>-態射之'''張量積'''， 我们定義為其串接。

按：此算符 <math>\Sigma</math> ，向由任一 範疇 <math>\mathbb C</math> 配上 <math>\Sigma(\mathbb C)</math>，可推廣到 <math>\textbf{Cat}</math>上的嚴格-2-單子 （''strict 2-monad''）。

==例== 
取任一範疇，若以其平常[[範疇積]]作張量積，以其[[終對象]]作單位對象，則成為一個張量範疇。
亦可取任一範疇，以其[[餘積]]（co-product）作張量積，以其[[始對象]]作單位對象，亦成一個張量範疇。 
（此二例實為[[對稱么半範疇]]結構。）
但亦有許多張量範疇（例如：<math>R</math>'''-Mod'''，如下），其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。

以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比：

{|
|-
! <math>R</math>-Mod
! Set
|-
| 取任一[[体 (数学)|域]] 或[[交換環]] <math>R</math>, 各 <math>R</math>-[[模]] 所成之 範疇 ''<math>R</math>'''-模''''' (若''R'' 為一域， 則 ''R''-模即 ''R''－向量空間) 是一 對稱么半範疇；其張量積 &otimes; 與單位對象為：<math>R</math>.
| 範疇 '''''集''''' 為一對稱么半範疇賦有張量積 &times; 與單位對象 {*}.
|-
| 單元結合代數為<math>R</math>'''-模'''之 一對象，賦上態射 <math>\nabla:A\otimes A\rightarrow A</math> 與 <math>\eta: R \rightarrow A</math> 並滿足以下條件:
| A 么半群 為一對象 M ，配上態射 <math>\circ: M \times M \rightarrow M</math>與
<math>1: \{*\} \rightarrow M</math> 並滿足
|-
| [[File:R-algebra1.png|結合律]] || [[File:Monoid1.png|結合律]]
|-
| and || 與
|-
| [[File:R-algebra2.png|單位關係]]. || [[File:Monoid2.png|單位關係]].
|-
| A [[餘代數]](coalgebra) 是一個 對象 C ，被賦予 態射
<math>\Delta: C \rightarrow C \otimes C</math> 
和
<math>\epsilon:C\rightarrow R</math> 
並滿足以下條件:
| '''''集'''''內每一對象（即每一集合）S， 都被賦予 態射
<math>\Delta: S \rightarrow S \times S</math>
和
<math>\epsilon: S \rightarrow \{*\}</math> 滿足以下條件:
|-
| [[File:R-coalgebra1.png|餘結合律(coassociativity)]]
| [[File:Comonoid1.png|餘結合律(coassociativity)]]
|-
| and || and
|-
| [[File:R-coalgebra2.png|餘單位關係(coidentity relations)]].
| [[File:Comonoid2.png|餘單位關係(coidentity relations)]].
|-
|
| 此 &epsilon; 是唯一的，因為 <math>\{*\}</math> （即一元集合）是個終對象.
|}

== 相關的結構 ==
* 很多張量範疇更進一步有 [[辮么半範疇|辮]], [[可交換么半範疇|交換態射]] or [[閉么半範疇|封閉]]等结構. 詳見下述參考。
* {{le|么半函子|monoidal functor}}為二張量範疇（-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇）間、保存張量積結構之函子； [[么半態射]]為二-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半函子間之態射（自然變換 (''natural transformations'')）。
*一般[[么半群]]之概念可推廣成-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇中的{{le|么半對象|monoid object}}。尤其者，可視一嚴格-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇作 範疇之「範疇」 '''Cat'''中的-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半對象（並以[[卡氏積]]為-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半結構）。
* [[半格|上有界交半格]] 構成一嚴格對稱-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇：其積為交，而單位元則為頂。

==應用==
*-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇被用以定義直覺主義[[線性邏輯]]的積性部分模型。它們也是[[凝態物理]]中[[拓撲序]]的數學基礎。
*張量範疇是二維[[保角場論]]和[[拓撲量子場論]]之代數框架.

== 參考 ==
* Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". ''Rice University Studies'' ''49'', 28–46.
* Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." ''Journal of Algebra'' ''1'', 397–402
* Joyal, Andr&eacute;; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". ''Advances in Mathematics'' ''102'', 20–78.
* Mac Lane, Saunders (1997), ''Categories for the Working Mathematician'' (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
*Baez, John,  [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2001/definitions.pdf Definitions] {{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2001/definitions.pdf |date=20200215072624 }}
*[http://eom.springer.de/b/b120420.htm :  <&lt;Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/b/b120420.htm |date=20071215011151 }}

[[Category:范畴论|Z]]