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庫拉托夫斯基十四集問題

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在点集拓扑学中，庫拉托夫斯基十四集問題敘述是：給定拓樸空間的子集，對做任意有限次數的取補集或閉包，最多可以得到幾個不同的集合？

本問題又被稱作閉包補集問題，由庫拉托夫斯基於1922年提出，並給出了解答 14[1] 。约翰·L·凯利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題[2]，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

證明

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對所有子集，將的補集記為，閉包記為，則有以下 3 件事實

  1. (取補集是對合的)
  2. (取閉包是冪等的)
  3. (或等價的，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

及

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱是個 14-集。事實上，實數空間 與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間和閉區間。

其他結果

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1962 年 T.A. Chapman 發現，對做任意有限次數的取内部或閉包，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

及

其中，代表的內部。

代數結構

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雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較代數，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了[3]。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個么半群，可以用來對不同拓樸空間做分類[4]。

參考資料

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  1. ^ Kuratowski, Kazimierz. Sur l'operation A de l'Analysis Situs (PDF). Fundamenta Mathematicae (Warsaw: Polish Academy of Sciences). 1922, 3: 182–199 [2019-01-29]. ISSN 0016-2736. （原始内容存档 (PDF)于2018-07-20）. 
  2. ^ Kelley, John. General Topology. Van Nostrand. 1955: 57. ISBN 0-387-90125-6. 
  3. ^ Hammer, P. C. Kuratowski's Closure Theorem. Nieuw Archief voor Wiskunde (Royal Dutch Mathematical Society). 1960, 8: 74–80. ISSN 0028-9825. 
  4. ^ Schwiebert, Ryan. The radical-annihilator monoid of a ring. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. 

外部連結

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