模糊数学,亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后,在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。
给定一个论域 U ,那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射
称为 U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集
[a],
记为 A 。
映射(函数) μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A 的隶属函数。
对于每个 x ∈ U , μA(x) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度。
模糊集的常用表示法有下述几种:
- 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
- Zadeh 记法,例如
。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
- 序偶法,例如
,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
- 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。
- 模糊集 A 的承集或支集记为
。
- 模糊集 A 的核记为
。
- 模糊集 A 的高度记为
。
- 模糊集 A 的深度记为
。
一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:
设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质:
- 清晰性:D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。(经典集的模糊度恒为0。)
- 模糊性:D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。)
- 单调性:∀ u ∈ U,若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5,或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5,则 D(A) ≤ D(B)。
- 对称性:∀ A ∈ F(U),有 D(Ac) = D(A)。(补集的模糊度相等。)
- 可加性:D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。
则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数,而 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。
可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[1],一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是
![{\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f8760ed8433a1dff938fde977d0ddff7556001)
其中 p > 0 是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。
- Hamacher 算子,其中ν ∈ [0,+∞) 是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子
- Yager 算子,其中 p 是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
- λ-γ 算子,其中 λ,γ ∈ [0,1] 是参数
- Dobois-Prade 算子,其中 λ ∈ [0,1] 是参数
参见集合代数和布尔代数。
主要算子的性质对比表如下(.
表示不满足,-
表示未验证):
算子 |
结合律 |
交换律 |
分配律 |
互补律 |
同一律 |
幂等律 |
支配律 |
吸收律 |
双重否定律 |
德·摩根律
|
Zedah
|
√ |
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
√ |
√ |
√ |
√
|
代数
|
√ |
√ |
. |
. |
√ |
. |
√ |
. |
- |
√
|
有界
|
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
- |
√
|
线性补偿是指:
[2]
算子的并运算 |
幂等律 |
排中律 |
分配律 |
结合律 |
线性补偿
|
Zadeh
|
√ |
. |
√ |
√ |
.
|
代数
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
有界
|
. |
√ |
. |
. |
√
|
Hamacher r = 0
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Yager
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Hamacher
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Dobois-Prade
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
设
,任取
,则
,
称 Aλ 为 A 的 λ 截集,而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >,记为 ASλ,称为强截集。
截集和强截集都是经典集合。此外,显然 A1 为 A 的核,即 kerA;如果 kerA ≠ ø,则称 A 为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积:
设 λ ∈ [0,1],A ∈ F(U),则 ∀ u∈U,λ 与 A 的截积(或称为 λ 截集的数乘,记为 λA)定义为:
![{\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c2b3260bd87b2d7a179708fe36e791498078e3)
根据定义,截积仍是 U 上的模糊集合。
分解定理:
设 A∈F(U),则
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f80a983d56126a1477e8e68eec5580845cfa09)
即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ} 的并。也即,一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。
表现定理:
设 H 为 U 上的任何一个集合套,则
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d1db5dc7e0efda1441250e7dec31989caa35f)
是 U 上的一个模糊集,且 ∀ λ ∈ [0,1],有
(1) ASλ = ∪α>λ H(α)
(2) Aλ = ∩α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:
![{\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d1e107451ec814fcc0d8721c823cc99e5762bb)
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。
除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e3d40cdbeb41dee51ab8832f5ff6fea7fb9c7c)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3954f62f36f2883784eee96ac4127392c7993cd4)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04445764d4909c63c362af6818b02536639fd6a)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74774067799d9349007fbdec6cdd64f8703cae88)
模糊关系是建立在模糊集上的关系,此外,它也有一些特别的性质和应用。
设 U 和 V 是论域,U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积,则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V,则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α,则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 α。特别地:
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × U,当 x = y 时 R = 1,当 x ≠ y 时 R = 0,则称 R 为 U 上的恒等关系,记为 I
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 0,则称 R 为从 U 到 V 的零关系,记为 0
- 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 1,则称 R 为从 U 到 V 的全称关系,记为 E
模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算,实质上就是模糊集的相应运算(采用 Zadeh 算子)。但模糊关系还有一个特殊的运算转置,定义为
- RT(x,y) = R(y,x)
易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。[3]
关系的合成:
对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R,以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S,那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为
![{\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d23f8723139f121e5307c1bbe838bdd52e8428)
其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大(即 Zedah 算子)。由此可知,模糊复合关系的运算,就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算,只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧,而加法改为 ∨ 即可。
例子:设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}:
从 U 到 V 的模糊关系 R
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1, (2,b)=0, (2,c)=0
(3,a)=0, (3,b)=1, (3,c)=0
(4,a)=0, (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
|
从 V 到 W 的模糊关系 S
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0 (b,β)=1
(c,α)=0 (c,β)=0.9
|
那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达(注意行列位置):
R |
a |
b |
c
|
1
|
0.7 |
0.5 |
0
|
2
|
1 |
0 |
0
|
3
|
0 |
1 |
0
|
4
|
0 |
0.4 |
0.3
|
|
S |
α |
β
|
a
|
0.6 |
0.8
|
b
|
0 |
1
|
c
|
0 |
0.9
|
|
R · S |
α |
β
|
1
|
0.6 |
0.7
|
2
|
0.6 |
0.8
|
3
|
0 |
1
|
4
|
0 |
0.4
|
|
模糊等价关系定义:
设 U 中的模糊关系 R 满足
- 1. 自反性
- ∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
- 2. 对称性
- ∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
- 3. 传递性
- ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时,R(x , z) ≥ λ
则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知,对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说,传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。
下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系:U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是,对于每个 λ ∈ [0,1],R 的 λ 截关系 Rλ 是 U 中的普通等价关系。
只满足自反性和对称性,不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理:U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 ⊆ R。
分类:
- 如果模糊关系是等价关系,取某一水平的 λ 截集,即可得到这个水平上的分类。
- 如果模糊关系是相似关系,计算 R* ≡ R2^k = R2^(k+1),则 R* 可被证明是等价关系。
- ^ 要注意:严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
- ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
- ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。
- ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第62页。