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{{NoteTA
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{{dablink|本文介绍向量的标量积。关于其他常称作'''内积'''的相关二元运算，参见[[内积]]。}}
{{Unreferenced|time=2013-12-13T11:16:08+00:00}}
{{Linear algebra}}

在[[数学]]中，'''点积'''（{{lang-de|Punktprodukt}}；{{lang-en|dot product}}）又称'''-{zh-hans:数量积;zh-hant:數量積}-'''或'''标量积'''（{{lang-de|Skalarprodukt}}；{{lang-en|scalar product}}），是一种接受两串等长的数字序列（通常是[[坐标]][[向量]]）、返回单一数字的[[代数]][[运算]]。<ref>同济大学数学系 ．工程数学:线性代数(第六版)．高等教育出版社．2014</ref>

在[[欧几里得几何]]里，两條[[笛卡尔坐标系|笛卡尔坐标]]向量的点积常称为'''-{zh-hans:内积;zh-hant:內積}-'''（{{lang-de|inneres Produkt}}；{{lang-en|inner product}}）。點积是'''-{zh-hans:内积;zh-hant:內積}-'''的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（[[内积空间]]）的度量。

从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的[[积]]，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量的[[向量#大小|长度]]与它们夹角[[余弦]]的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。

'''点积'''的名称源自表示点乘运算的[[⋅|点号]]（<math>\mathbf a \cdot \mathbf b</math>），讀作<code>a dot b</code>，'''标量积'''的叫法则是在强调其运算结果为[[标量 (数学)|标量]]而非[[向量]]。向量的另一种乘法是'''[[叉积|叉乘]]'''（<math>\mathbf a \times \mathbf b</math>），讀作<code>a cross b</code>，其结果为向量，称为'''[[叉积]]'''或'''向量积'''。

==定义==
点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在[[欧几里得空间|欧氏空间中]]引入[[笛卡尔坐标系]]，向量间的'''点积'''既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两向量的'''长度'''和'''角度'''等几何概念来求解。

===代数定义===

向量<math>\vec{a}=[a_1, a_2, \cdots, a_n]</math>和<math>\vec{b}=[b_1, b_2, \cdots, b_n]</math>的点积定义为：
:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n </math>
这裡的Σ是[[求和符号]]，而''n''是[[向量空間]]的[[維度]]。

例如，三维向量<math>\left [ 1,3,-5 \right ]</math>和<math>\left [ 4,-2,-1 \right ]</math>的点积是

:<math>
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3
\end{align}
</math>

点积还可以写为：

:<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}^T</math>。

这裡，<math>\vec{b}^T</math>是列向量<math>\vec{b}</math>的[[转置矩阵|转置]]。

使用上面的例子，1×3矩阵（[[列向量]]）乘以3×1矩阵（[[行向量]]）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩陣):

:<math>
\begin{bmatrix}
 1 & 3 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 4 \\ -2 \\ -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
 3
\end{bmatrix} = 3</math>。

===几何定义===
在[[欧几里得空间]]中，点积可直观定义为
:<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;</math>
这里 |<math>\vec{x}</math>| 表示<math>\vec{x}</math>的[[模长|模]]（长度），<math>\theta</math>表示向量间的[[角度]]。

'''注意'''：[[内积空间|点积的形式定义]]和这定义不同；在形式定义，<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>的夹角用上述等式定义。

这样，互相垂直的两條向量的点积总是零。若<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>都是[[单位向量]]（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的[[余弦]]。那么，给定两條向量，它们之间的夹角可以以下公式得到：
:<math> \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|} </math>
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一向量投影到第二向量上（向量顺序这裡在不重要，点积运算可交换），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这分数一定是小于等于1的，可以简单转化成角度值。

===标量投影===
[[File:Scalarproduct.gif|thumb|200px|'''A'''·'''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ). <br /><nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ)是'''A'''到'''B'''的投影。]]
欧氏空间中向量<math>\mathbf A</math>在向量<math>\mathbf B</math>上的[[scalar projection|标量投影]]是指對於向量B來說向量A的垂直度到向量B的代表長度
:<math>A_B=|\mathbf A|\cos\theta</math>

这里<math>\theta</math>是'''<math>\mathbf A</math>'''和'''<math>\mathbf B</math>'''的夹角。从点积的几何定义<math>\mathbf A\cdot\mathbf B=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta</math>不难得出，两向量的点积：<math>\mathbf A\cdot\mathbf B</math>可以理解为向量<math>\mathbf A</math>在向量<math>\mathbf B</math>上的投影再乘以<math>\mathbf B</math>的长度。

:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = A_B|\mathbf{B}|=B_A|\mathbf{A}|</math>

===两种定义的等价性===
点积的两种定义中，只需给定一种定义，另外一种定义就可以推出。

====由几何定义推出代数定义====

设<math>e_1,...,e_n</math>是<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一组标准正交基，可以得出：
:<math>\begin{align}
\mathbf A &= [a_1,\dots,a_n] = \sum_i a_i\mathbf e_i\\
\mathbf B &= [b_1,\dots,b_n] = \sum_i b_i\mathbf e_i.
\end{align}
</math>

上文中已经得知两條向量点积的几何定义实际上就是一條向量在另外一條向量上的投影，故<math>\mathbf A</math>在任一标准基<math>e_n</math>的点积<math>\mathbf A\cdot\mathbf e_i</math>就是<math>\mathbf A</math>在此标准基向量上的投影，而根据向量自身的定义，这个投影即为<math>a_i</math>。因此：

:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \mathbf A\cdot\sum_i b_i\mathbf e_i = \sum_i b_i(\mathbf A\cdot\mathbf e_i) = \sum_i b_ia_i</math>

====由代数定义推出几何定义====

应用[[余弦定理]]。
'''注意'''：这个证明采用三维向量，但可以推广到<math>n</math>维的情形。

考虑向量
:<math> \vec{v} = v_1 \vec{i} + v_2 \vec{j} + v_3 \vec{k} \; </math>.
重復使用[[勾股定理]]得到
:<math> |\vec{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;</math>.
而由代数定义
:<math> \vec{v} \cdot \vec{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;</math>,
所以，根据向量点积的代数定义，向量<math>\vec{v}</math>和自身的点积就是其长度的平方。

; '''引理1''':<math> \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 \; </math>

现在，考虑从原点出发的两條向量<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>，夹角<math>\theta</math>。第三條向量<math>\vec{c}</math>定义为
:<math> \vec{c} \equiv \vec{a} - \vec{b} \;</math>,
构造以<math>\vec{a}</math>，<math>\vec{b}</math>，<math>\vec{c}</math>为边的三角形，采用[[余弦定理]]，有
:<math> |\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \;</math>.
根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有
:<math> \vec{c} \cdot \vec{c}
= \vec{a} \cdot \vec{a}
+ \vec{b} \cdot \vec{b}
- 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \;</math>.                   ''（1）''
同时，根据定义<math>\vec{c}</math> ≡ <math>\vec{a}</math> - <math>\vec{b}</math>，有
:<math> \vec{c} \cdot \vec{c}
= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \;</math>,
根据[[分配律]]，得
:<math> \vec{c} \cdot \vec{c}
= \vec{a} \cdot \vec{a}
+ \vec{b} \cdot \vec{b}
-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) \;</math>.                  ''（2）''
连接等式''（1）''和''（2）''有
:<math> \vec{a} \cdot \vec{a}
+ \vec{b} \cdot \vec{b}
-2(\vec{a} \cdot \vec{b})
= \vec{a} \cdot \vec{a}
+ \vec{b} \cdot \vec{b}
- 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \;</math>.
简化等式即得
:<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \; </math>,
以上即为向量点积的几何定义。


需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于<math>\mathbb{R}^n</math> (<math>n \le 3</math>)。在高维空间，其他的域或[[模]]中，点积只有一个定义，那就是
:<math>\left \langle \vec{a}, \vec{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i</math>

点积可以用来计算[[合力]]和[[功]]。若<math>\vec{b}</math>为单向量，则点积即为<math>\vec{a}</math>在方向<math>\vec{b}</math>的投影，即给出了[[力]]在这个方向上的分解。功即是力和[[位移]]的点积。

== 性质 ==

点积有以下性质。

* 满足[[交换律]]：
*:<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}</math>，
*: 从定义即可证明（<math>\theta</math> 为<math>a</math>与<math>b</math>的夹角）：
*: <math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\| \vec{a} \right\| \left\| \vec{b} \right\| \cos \theta = \left\| \vec{b} \right\| \left\| \vec{a} \right\| \cos \theta = \vec{b} \cdot \vec{a}</math>

* 对向量加法满足[[分配律]]：
*: <math> \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}</math>

* 点积是[[双线性算子]]：
*: <math> \vec{a} \cdot (r\vec{b} + \vec{c}) = r(\vec{a} \cdot \vec{b}) +(\vec{a} \cdot \vec{c})</math>

* 在[[标量乘法|乘以标量]]时满足：
*: <math> (c_1\vec{a}) \cdot (c_2\vec{b}) = (c_1c_2) (\vec{a} \cdot \vec{b}) </math>

* 不满足[[结合律]]。因为标量（<math>\vec{a} \cdot \vec{b}</math>）与向量（'''<math>\vec{c}</math>'''）的点积没有定义，所以结合律相关的表达式 <math>(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}</math> 和 <math>\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})</math> 都没有[[定义良好|良好的定义]]

* 两个非零向量<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>是[[正交]]的，[[当且仅当]]<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=0</math>

如果<math>\vec{b}</math>是[[单位向量]]，则点积给出<math>\vec{a}</math>在方向<math>\vec{b}</math>上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在[[力学]]中计算[[合力]]。

不像普通数的乘法服从[[消去律]]，如果<math>ab=ac</math>，则<math>b</math>总是等于<math>c</math>，除非<math>a</math>等于零。而对于点积：
:如果<math>\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}</math>并且<math>\vec{a}\neq 0</math>:
:则根据[[分配律]]可以得出：<math>\vec{a}\cdot\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )=0</math>；进而：
:如果<math>\vec{a}</math>垂直于<math>\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )</math>，则<math>\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )</math>可能<math>\neq 0</math>，因而<math>\vec{b}</math>可能<math>\neq\vec{c}</math>；否则<math>\vec{b}=\vec{c}</math>。

==延伸==

===矩阵===

[[矩阵]]具有[[弗罗比尼乌斯内积]]，可以类比于向量的内积。它被定义为两个相同大小的矩阵'''A'''和'''B'''的对应元素的内积之和。

复矩阵情况下：
:<math> \mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} \overline{B_{ij}} = \mathrm{tr} ( \mathbf{B}^\mathrm{H} \mathbf{A} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{H} ) .</math>
实矩阵情况下：
:<math> \mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij} = \mathrm{tr} ( \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{B} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T} ) .</math>

==应用==
[[物理学]]中[[力学]]的力做功的问题，经常用到点积计算。

[[计算机图形学]]常用来判断方向，如两向量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。

向量内积是[[人工智能]]领域中的[[人工神经网络|神经网络]]技术的数学基础之一。

此方法用于[[动画渲染]]（Animation-Rendering）。

==广义定义==
在[[向量空间]]<math>V</math>中，定義在<math>V\times V</math>上的'''正定对称双线性形式'''函數即是<math>V</math>的內積，而添加有数量积的向量空间即是[[内积空间]]。

== 参见 ==
* [[向量积]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:向量]]
[[Category:二元運算|D]]
[[Category:解析几何|D]]