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真凸函数

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数学分析, 特别是凸分析最优化中, 凸函数 f扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得

同时对所有 x 满足

称被称作真凸函数。 这意味着,若凸函数为“真”, 则其有效域非空,值不为 .[1]

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。[2]

若函数 g 的负函数 为真凸函数, 则 g 为“真凹函数”。

性质

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对于Rn 上任意真凸函数f, 存在Rn上的 b 与实数 β, 使得所有 x满足

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说, 假设集合 均为向量空间 X 上的非空 凸集, 那么特征函数 为真凸函数, 但是当 时, 始终等于 .

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数, 但未必是真凸。[3]

参考文献

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  1. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 254. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
  2. ^ Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 24 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6. 
  3. ^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich, Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications 6, North-Holland: 168, 2009, ISBN 9780080875279 .