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腎形線

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腎形線可以用在一圓上滖動的圓來產生

腎形線(nephroid)是外形類似腎臟平面曲线,其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός (ho nephros),和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Richard A. Proctor英语Richard A. Proctor在1878年提出的曲線,不過有時也會用來描述其他曲線[1][2]

腎形線是六度的代數曲線,可以用一個半徑為 的圓在半徑為的固定圓上滾動而得,因此腎形線也屬於外摆线,有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線,因此也是若爾當曲線

方程式

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腎形線的定義
杯底的腎形線焦散英语Caustic (optics)

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動,若小圓的半徑為,固定圓的圓心在,半徑為,小圓的滾動角為,啟始點為(如圖所示),則可以得到腎形線的

  • 參數式

代入以下方程

可知上述方程即為腎形線的隱函數表示式英语Implicit curve

若尖點是在Y軸上,則參數式為

隱函數表示式為

性質

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上述的腎形線,有以下的性質

  • 弧长
  • 面积
  • 曲率半徑

參考資料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Nephroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Nephroid. Maths History. [2022-08-12]. (原始内容存档于2024-03-15) (英语). 
  • Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
  • Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
  • Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

外部連結

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