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在[[数学]]中，限定词'''逐点'''（{{Lang-en|Pointwise}}）用於表明考虑某函数<math>f</math> 的每一个值<math>f(x)</math> 的确定性质。一类重要的逐点概念是逐点运算，这种运算是定义在函数上的运算，是将[[定义域]]上的每一点的函数值分别进行运算。重要的[[关系理论|关系]]也可以被定义为逐点的。

== 逐点算子 ==
例子包括：
:逐点加法：<math>(f+g)(x)  = f(x)+g(x)\,</math>
:逐点乘法：<math>(f\cdot g)(x)  = f(x) \cdot g(x) </math>
:与标量的逐点乘法：<math>(\lambda f)(x)  = \lambda \cdot f(x)</math>

见[[逐点乘积]]、[[标量 (数学)|标量]]。

逐点运算继承了来自[[陪域]]的对应运算的性质，这些性质包括[[结合律]]、[[交換律]]和[[分配律]]。函数上的运算不是逐点运算的有[[卷积]]。

== 逐点关系 ==
[[序理论]]中，普遍将逐点定义为函数上的[[偏序关系]]。若''A'' 、''B'' 是[[偏序关系|偏序集]]，则函数集''A'' → ''B'' 可被表示成偏序关系 ''f'' ≤ ''g'' 当且仅当∀''x'' ∈ A时''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') 。逐点序也继承了基础偏序集的一些性质。例如，若A与B是[[连续格]]，则具有逐点序的函数集''A'' → ''B'' 也是连续格。<ref>Gierz, p. xxxiii</ref>在函数上我们可以利用逐点序定义其他重要的概念，例如<ref>Gierz, p. 26</ref>：

* 偏序集''P'' 上的[[闭包算子]]''c'' 是''P'' （即[[投影算子]]）上的[[单调]]、[[幂等]]的自映射，这一自映射还具有附加性质id<sub>''A''</sub> ≤ ''c'' ，其中id是[[恆等函數]]。

* 类似地，投影算子''k'' 被称为[[核算子]]当且仅当''k'' ≤ id<sub>''A''</sub> 。

[[无限性]]逐点关系的一个例子是函数的[[逐点收敛]]：

:<math>f_n:X \longrightarrow Y</math>

若对於<math>X</math> 中的每一<math>x</math> 都有 
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x),</math>

则函数[[序列]] 
:<math>\{f_n\}_{n=1}^\infty</math>

逐点[[收敛数列|收敛]]至函数<math>f</math> 。

== 参考文献 ==
=== 脚注 ===
{{reflist}}

=== 参考书目 ===
序理论例子出处：
* T.S. Blyth, ''Lattices and Ordered Algebraic Structures'', Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
* G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: ''Continuous Lattices and Domains'', Cambridge University Press, 2003.
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{{planetmath|urlid=pointwise|title=Pointwise}}

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