逐點

在數學中，限定詞逐點（英語：Pointwise）用於表明考慮某函數$f$ 的每一個值$f(x)$ 的確定性質。一類重要的逐點概念是逐點運算，這種運算是定義在函數上的運算，是將定義域上的每一點的函數值分別進行運算。重要的關係也可以被定義為逐點的。

逐點算子

例子包括：

逐點加法：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,$

逐點乘法：$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

與純量的逐點乘法：$(\lambda f)(x)=\lambda \cdot f(x)$

見逐點乘積、純量。

逐點運算繼承了來自陪域的對應運算的性質，這些性質包括結合律、交換律和分配律。函數上的運算不是逐點運算的有卷積。

逐點關係

序理論中，普遍將逐點定義為函數上的偏序關係。若A 、B 是偏序集，則函數集A → B 可被表示成偏序關係 f ≤ g 若且唯若∀x ∈ A時f(x) ≤ g(x) 。逐點序也繼承了基礎偏序集的一些性質。例如，若A與B是連續格，則具有逐點序的函數集A → B 也是連續格。在函數上我們可以利用逐點序定義其他重要的概念，例如：

• 偏序集P 上的閉包算子c 是P （即投影算子）上的單調、冪等的自映射，這一自映射還具有附加性質id_A ≤ c ，其中id是恆等函數。

• 類似地，投影算子k 被稱為核算子若且唯若k ≤ id_A 。

無限性逐點關係的一個例子是函數的逐點收斂：

$f_{n}:X\longrightarrow Y$

若對於$X$ 中的每一$x$ 都有

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x),$

則函數序列

$\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

逐點收斂至函數$f$ 。

參考文獻

參考書目

序理論例子出處：

• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

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