邦别里-维诺格拉多夫定理

在數學上，邦別里-维诺格拉多夫定理（Bombieri-Vinogradov theorem；又稱邦別里定理 (Bombieri's theorem)）是解析數論上的一個主要成果，該成果出於1960年代，與在在一系列模數上取平均值的算術數列中的質數分布相關。

這類結果最早在1961年由馬克·巴爾班（Mark Barban）取得；，而邦別里—维诺格拉多夫定理則是巴爾班結果的細化。邦別里—维诺格拉多夫定理以恩里科·邦別里及阿斯科尔德·维诺格拉多夫的名字命名，而這兩人在1965年期間出版一些與此相關的密度猜想方面的文章。

該結果是起自1940年代尤里·林尼克的研究、並在1960年代前期快速發展的大篩法的一個主要應用。在邦別里之外，克勞斯·羅特也研究大篩法相關的問題；而在在1960年代晚期及1970年代早期，帕特里克·X·加拉格尔簡化了這證明的許多元素跟估計。

邦別里—维诺格拉多夫定理的陳述

設$x$與$Q$為任意兩個有以下關係的正實數：

$x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.$

那麼有

$\sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.$

其中$\varphi (q)$是欧拉函数，且是對q取模的被加數的數量；此外，

$\psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),$

其中$\Lambda$是馮·曼戈爾特函數。

一個以文字表示的說法是這是一個與對$q$取模且不大於$Q$的等差序列上的質數定理的誤差項有關的定理。對於${\sqrt {x}}$附近的特定的$Q$，假若我們忽略對數項，則這平均誤差可小至${\sqrt {x}}$。這結果並不顯著，且在沒有平均的狀況下與廣義黎曼猜想差不多強。

參見

• 埃利奥特—哈伯斯塔姆猜想（邦別里—维诺格拉多夫定理的推廣）
• 维诺格拉多夫定理（以伊萬·維諾格拉多夫為名的定理）

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Bombieri's Theorem. MathWorld. 
• The Bombieri-Vinogradov Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆），出自鲍勃·沃恩的講義。