弦切角定理

弦切角定理（英语：Alternate Segment Theorem）指出，弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。

证明

已知:线段$AB$与$\odot O$相切，弦切角$\angle BAC$所夹的弧是${\overset {\frown }{AC}}$，$\angle P$是${\overset {\frown }{AC}}$所对的圆周角。

求证: $\angle BAC=\angle P$

证明:

（1）当圆心${\mathit {O}}$在$\angle BAC$的$AC$上时，如图1.

∵${\mathit {AB}}$与圆${\mathit {O}}$相切于点${\mathit {A}}$.

∴$\angle BAC=90^{\circ }$

∵$AC$是$\odot O$的直径.

∴$\angle P=90^{\circ }$

∴$\angle BAC=\angle P$

（2）当圆心${\mathit {O}}$在$\angle BAC$的外部时，如图2，作$\odot O$的直径$AQ$，连结$CQ$.

∵$\angle BAQ=\angle ACQ=90^{\circ }$

∴$\angle BAC=90^{\circ }-\angle 1$, $\angle Q=90^{\circ }-\angle 1$

∴$\angle BAC=\angle Q$

又∵$\angle P=\angle Q$

∴ $\angle BAC=\angle P$

（3）当圆心${\mathit {O}}$在$\angle BAC$的内部时，如图3，作$\odot O$的直径$AQ$，再连结$CQ$.

∵$\angle BAC=180^{\circ }-\angle DAC$,

$\angle P=180^{\circ }-\angle Q$,

又由(2)可知，$\angle DAC=\angle Q$,

∴$\angle BAC=\angle P$

综上所述，可知$\angle BAC=\angle P$.