菲涅尔转换

菲涅尔转换是线性标准转换的一个特例，广泛应用在光学领域上，主要在描述电磁波于近场区域在空气中传播的状况，他也可以借由克希荷夫衍射公式去做近似而得到。若是一个远场传递的电磁波，则比较类似夫朗和斐衍射公式。对于一个近场的电磁波，我们可以用菲涅尔数去观测其性质。菲涅尔数只要远远大于一的时候，就代表此衍射波是处于近场。菲涅尔衍射积分式我们可以使用下述的近似去推导(后面章节也有较为完整的描述)，可以写成以下式子：

{\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,

这里 $\theta$ 是用 $\theta \approx {\frac {a}{L}}$ 所描述的极大值角度, $a$ 是孔径的尺寸， $L$ 是孔径与观察屏之间的距离。

早期针对菲涅尔转换的研究

追溯菲涅尔转换为人知的时期，要回到十七世纪的时候，由一位意大利人Francesco Maria Grimaldi在他的专题论文-"light"^[1]所提出的。接着，Richard C. MacLaurin 借由观测光的传递、一条远距离光源所产生的光束遇到一个有孔或狭长的障碍物时如何被影响，去解释菲涅尔衍射现象。他使用了惠更斯－菲涅耳原理去做推导，发现光的波前从障碍物的狭缝中穿出且射到一个距离狭缝有一段距离的屏幕上的效果，跟光的波前直接穿过去是差不多的，看起来就好像没有经过任何的物理障碍一样。这个结果表示如果一个缝隙如果非常的狭长，具有明亮中心的衍射宽带则可以被观测到；如果这个缝隙相对来说比前一个状况宽一些，则会看见明暗交错的衍射宽带。若这个隙缝继续的变大，则明暗交错的衍射宽带会渐渐地变的不明显，直到衍射的现象无法再被观测到为止。

MacLaurin没有提到关于光如果从一个小孔照耀出去的话，衍射的中心会有几率受到影响而看不见。但是他指出相反的情况-如果一个圆形物体的影子区域，可能经由衍射效果而使的此区域变明亮，这也是我们俗称的阿拉戈点。

在MacLaurin的著作-"光学"中^[2]，Francis Weston Sears提供了一个菲涅尔所提出的数学近似法，仅仅用一些简单的数学，就能拿来预测衍射现象的主要特色。借由观测有洞的障碍物到侦测屏幕的直线距离，以及知道入射波的波长，我们是有可能去计算出菲涅尔区域。这个区域的特性是，最内部区域是一个圆，接着会有一层一层的同心环所包围。如果最内部的圆之直径在屏幕上已经足够显示出第一个菲涅尔区域且侦测屏幕没有被屏蔽的话，光在屏幕中心点的振幅就会比原本的大两倍。如果最内部的圆之直径在屏幕上已经足够显示出前两个菲涅尔区域，则光在屏幕中心点的振幅会趋近于零。这表示菲涅尔衍射还是有机会出现一个暗带中心。上述所提到的特性都可以借由实验观测到以及量测到，而且可以对应到充足的理论，让我们可以去计算出这些现象发生时，各个条件所对应到的值。

菲涅尔转换的积分

要推导菲涅尔转换，我们先考虑一个电场的衍射模式，给定 $x,y,z$ 座标，其公式如下：

E(x,y,z)={1 \over {i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }{E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}}dx'dy'

其中， $E(x',y',0)$ 是电磁波在原点的电场分布， $r$ 则是两个座标点位置的距离，其值为 ${\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}$ ， $i\,$ 则为虚数的符号。除非是最简单的衍射形式，否则我们无法直接从此积分式得到分析解，所以在实作上我们通常是以数值方法去计算其值。

菲涅尔转换的近似型

原积分式较为难处理的部分便是 $r$ 变数，因此我们先对他采取代数转换，引入一个新变数 $\rho$ ，代换掉 $x,y$ 维度的距离：

\rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,

因此 $r$ 就可以被改写成以下形式，并且用泰勒展开式去近似成以 $z$ 和 $\rho$ 表示

r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}

=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]

=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots

因为我们有以下的性质：

{\sqrt {1+k}}=(1+k)^{1/2}=1+{\frac {k}{2}}-{\frac {k^{2}}{8}}+\cdots

，在此情况下

k

即为

{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}

接着，我们考虑上述展开式的第三项以后，我们希望那之后的项都非常小，小到可以忽略，若要达成这项条件，因为 $r$ 在原电场关系式出现于复数exponential的次方以及分母，在 $\rho \ll z$ 的情况下，分母部分第三项以后可以直接省略；而对于复数exponential的次方部分，其必须远小于一个周期，也就是 $2\pi$ 。

这表示我们希望有以下性质：

k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi

，又

k={2\pi  \over \lambda }\,

，故可得

{\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

将 $x,y,x',y'$ 代换回来，我们可将不等式满足的条件改写成下式，这表示只要积分式中的 $x,y,x',y'$ 符合下列不等式，我们便能近似 $r$ 。

{\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

近似结果为泰勒展开式的前两项：

r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}

同时我们将分母的 $r$ 简化，由于第一项会远比第二项来的大，因此我们直接将 $r$ 近似成 $z$ ，并将原本的电场公式改写如下：

E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'

如前所述，本式子成立的条件须要我们能比较衍射半径以及电磁波传递之距离，且前者须远远小于后者，不论是针对分子的复数exponential的项，或者是分母的项皆是如此。一般来说，当菲涅尔数为1的时候，菲涅尔衍射是可以发生的。同时，观察此方程式，我们可以发现其类似一个球型波传递。虽然此积分式的分析解依然不容易求得(只有发生在少数状况可直接得到)，若要在更简化则需要使用夫朗和斐衍射公式。此外，菲涅尔衍射具备波前的曲线性，这样才能计算出近场电磁波干扰时的相对相位角。

菲涅尔转换与线性标准转换

要提到菲涅尔转换，我们也必须提到线性标准转换，因为菲涅尔转换可视为线性标准转换的一种在时频分析上的修剪形式(傅立叶转换对应到的事在时频分析上的旋转)；此处以z方向为电磁波传递方向，因 $z$ 在积分式中不是待积分变数，我们可将式子简化，以二维的方式呈现，线性标准转换的方程式如下：

$X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-{\frac {1}{ib}}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,$	当 b ≠ 0,
$X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,$	当 b = 0.

且 $ad-bc=1$ 若将线性标准转换的a,b,c,d四个参数写成一个二乘二的矩阵以及一个行列式限制条件来表示，如同矩阵 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ ，其条件为 $ad-bc=1$ ，可以变换出许多衍生的形式。

根据上述公式，菲涅尔转换为线性标准转换的一个特例，表示形式为：

$U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'$

其中， $\lambda$ 代表波长， $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ ， $z$ 为电磁波传递方向的距离。

我们亦可把菲涅尔转换当成是两个一维的线性标准转换的合成，表示如下：

$U_{o}(x,y)=\ e^{ikz}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {k}{2z}}(y-y')^{2}}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x-x')^{2}}\ dx'dy'$

若以矩阵形式来看，则为 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}$

菲涅尔转换的其他形式

卷积

菲涅尔转换的积分式也可以有其他种的表示方式，以达到使用其数学性质的目的，如果我们定义以下的函数：

h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}

这个积分可以被表示成卷积的形式

E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)\,=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }E(x',y',0)*h(x-x',y-y',z)\ dx'dy'

换句话说，我们可以将这个电磁波的传递，以线性滤波器的模型来表示。这也是为什么我们一般会将 $h(x,y,z)$ 称为自由空间传递时的脉冲响应。

傅立叶转换

另外一种常见的变换形式就是傅立叶转换，如果在积分式中，我们将 $k$ 用 $\lambda$ 来取代，亦即 $k={2\pi \over \lambda }\,$ ，并且将 $x,x',y,y'$ 的关系展开：

{\begin{aligned}(x-x')^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\(y-y')^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}

那么我们便可以将此积分式变换为一个二维的傅立叶转换表示形式，接着，我们使用定义 $G(p,q)$ 为函数 $g(x,y)$ 的傅立叶转换：

G(p,q)={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,

其中 $p,q$ 所代表的是空间频率，也就是所谓的波数的意思，如此一来，将 $g(x,y)=E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}$ 代入，我们便能将原本的菲涅尔转换表示成下列形式：

{\begin{aligned}E(x,y,z)&={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}\left.{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=\left\{h(x,y)\right\}\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{aligned}}

换句话说，当我们运用此性质时，先计算 $g(x,y)$ 的傅立叶转换，再将 $p,q$ 代回 ${\big (}{\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}{\big )}$ ，并乘上 $h(x,y)$ 。这样子表示的好处是，当有一个程序可以让我们知道目标函数的傅立叶变换，我们便可以用这个方法直接计算，而且此表示形式也与线性标准转换较为类似。

离散一般化菲涅尔转换

2006年，由I. Aizenberg和J.T. Astola所发表^[3]，是由线性卷积的离散转换所发想而来。他们使用一个可被广泛运用的代数方法，使得能在任意的向量空间中做讯号分析。I. Aizenberg和J.T. Astola找到了一个可被运用在离散傅立叶转换的一般化菲涅尔转换，并且得出有偶数次的离散傅立叶转换有两个一般化的菲涅尔转换函数、奇数次的离散傅立叶转换则只有一个一般化的菲涅尔转换函数。而这些菲涅尔转换主要是由Walsh转换与联合转换所推导而来。

2015年，由Xing Ouyang等人发表的"Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution"^[4]利用如离散傅立叶转换以及正弦余弦函数等离散三角转换，运用他们的特性，去导出在无线周期的光栅系统下的离散菲涅尔转换。相较于以前的离散菲涅尔转换，Xing等人所得出的不会有衰减的现象。同时，菲涅尔转换的圆形卷积也是第一次在这篇论文中被探讨，他可以证明出两个序列的圆形卷积等同于其中一个讯号与菲涅尔转换的圆形卷积，这个性质除了可以帮助我们得出托尔伯特图像的参数外，亦可在光学上有所运用，也可以对于资料处理和菲涅尔转换的数值分析有帮助。

应用

影像加密
讯号分离
重建信号

参考

^ Light, by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press
^ Optics, Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948
^ I. Aizenberg and J. Astola, "Discrete generalized Fresnel functions and transforms in an arbitrary discrete basis, " IEEE Trans on Signal Processing, vol. 54, no.11, pp. 4261-4270(2006)
^ X. Ouyang, C. Antony, F. Gunning, H. Zhang, Y. L. Guan, “Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution”; http://arxiv.org/abs/1510.00574 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

[1] Light, by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press

[2] Optics, Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948

[3] I. Aizenberg and J. Astola, "Discrete generalized Fresnel functions and transforms in an arbitrary discrete basis, " IEEE Trans on Signal Processing, vol. 54, no.11, pp. 4261-4270(2006)

[4] X. Ouyang, C. Antony, F. Gunning, H. Zhang, Y. L. Guan, “Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution”; http://arxiv.org/abs/1510.00574 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

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