伟柏电动力学

伟柏电动力学（Weber’s Electrodynamics）

韦伯(1804 - 1891)发现两带电质点间的作用力与其相对速度与距离有关，是最早提出力的作用与速度有关的科学家，这个理论能有效的解释静电学中电磁吸引、感应电流等现象。若有一组带电粒子 与 ，分别座落于 与 上，其速度分别为 与 ，则带电质点2对1的韦伯力(Weber’s force)其值可表示成 $F_{21}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})$

其中${\vec {r}}={\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}$为两个带电质点间的相对距离，相对速度可表示成${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\dot {r}}{\widehat {r}}$

而韦伯电动力学中最重要的结果是其作用力的形式符合牛顿第三运动定律的strong form，也就是两个质点间的作用力大小相等且方向相反，力在质点的连心线的沿长线上，而Weber’s force也可以符合古典力学中的Galilean Transformation。

韦伯电动力学的拉格朗日方程

根据韦伯电动力学，我们可以知道两个带电质点之间的位能可以下列形式表式：$U={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})$

其中$q_{1}$与$q_{2}$分别为质点1和2的带电量，${\vec {r}}={\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}$为两个带电质点间的距离。而平面上质点的动能可以表示成$T={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

因此Lagrangian可以写成$L=T-U$ $L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1+{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})$

其中

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}-{\frac {2{\dot {r}}}{rc^{2}}}$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\ddot {r}}-{\frac {2{\ddot {r}}}{rc^{2}}}-{\frac {2{\dot {r}}}{r^{2}c^{2}}}$

${\frac {\partial L}{\partial r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1+{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta )}}=mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}$

${\frac {\partial L}{\partial {\theta }}}=0$

将上列式子代入拉格朗日方程：

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\theta }}}=0$

可得到equation of motion

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}$

由polar coordinates可以知道

$m{\ddot {r}}-mr{\ddot {\theta }}=F_{r}$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=rF_{e}$

所以运动议程可以写成以下的形式

$F_{r}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})$

$F_{e}=0$

从上式我们可以知到r方向的作用力即为韦伯力，另外，注意到θ方向是没有作用力的，即两个带电质点间没有扭力(torque)作用，因此韦伯电动力学中的作用力是在两个质点连心线上，遵守牛顿第三运动定律的strong form，此结果和麦克斯韦尔-洛伦兹电动力学中的洛伦兹力有很大的不同，接下来的部分将会对两种不同形式的电动力学做讨论。

韦伯电动力学与麦克斯韦尔电动力学的比较

在前面我们有提到，韦伯电动力学是遵守牛顿第三运动定律的，因此韦伯电动力学能够自动的满足线动量守恒，然而洛伦兹力很明显的是不遵守的，这意味著一组相互作用的电荷的线动量有可能增加或减少，即使它们不与外界的物体作用。由上面的证明也可知道韦伯力在角动量方面也是守恒的，而麦克斯韦尔电动力学中则否，这意味著相互作用的电荷之间的角动量有可能增加或减少，即便它们不与外界的物体作用。

另外，洛伦兹力也不属于保守力，且讨论高速质点运动时，磁感应的部分必需被修正。

参考资料

• A. K. T. Assis, and H. T. Silva, “Comparison Between Weber’s Electrodynamics and Classical Electrodynamics,” J. O. Phys., Vol. 55, No. 3, pp. 393-404, 2000.
• T. E. Phipps, Jr., “Weber-type Laws of Action-at-a-Distance in Modern Physics,” Apeiron, No. 8, pp. 18-35, 1990.
• D. L. Bergman, “The Troubled Theories Of Magnetic Induction,” Science Newsletter, Vol. 3, No. 3, 2000.
• A. K. T. Assis, J. Fukai, and H. B. Carvalho, “Weberian Induction,” Phys. Lett. A, Vol. 268, pp. 274-278, 2000.