消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一项非常重要的参数，用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

Vanish moment 越高，经过内积后被滤掉的低频成分越多

在实务上，Vanish moment=5

由来

在连续小波变换中，母小波有4个主要限制如下。

1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):

母小波不能是一个无限长的函数。

2. 必须是实函数(Real) :

因为要处理的影像不会是复数信号，且为了方便计算。

3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:

这项是最难满足的一项。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波转换

定义

首先定义第 $k$ 个动量( $k_{th}$ moment):

$m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$

若 $m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0$，

则我们说 $\psi (t)$ 有 $p$ 个消失矩。

如何计算消失矩

我们可以看到 $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$ 不太好计算，尤其是 $k$ 很大的时候。

此时，可以善用傅立叶转换来进行计算。

计算第0个动量

首先，观察傅立叶转换的公式:

$G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

当令$f=0$时，可以看到以上公式变成:

$G(0)=\int g(t)\,dt$

正是第0个动量 $m_{0}$。

因此，若要计算 $g(t)$ 的第0个动量，可以先计算 $g(t)$ 的傅立叶转换，再取直流项(也就是 $f=0$ )。

计算第k个动量

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 $k$ 个动量。

首先，傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 $k$ 次，就相当于时域乘上 $t^{k}$ :

${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

当令$f=0$时，可以看到以上公式变成:

${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

正是第 $k$ 个动量 $m_{k}$。

因此，若要计算 $g(t)$ 的第k个动量，可以先计算 $g(t)$ 的傅立叶转换的k次微分，再取直流项(也就是 $f=0$ )。

一些常用函数的消失矩

分成两类连续函数与连续函数的离散系数

• 连续函数:哈尔基底、墨西哥帽函数
• 连续函数的离散系数:多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

连续函数

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换，使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底

哈尔基底的数学表示式如下:

$\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

$\psi (t)$ 是一个奇函数，所以

$m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0$

但 $t\psi (t)$ 是偶函数，所以

$m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0$

因此，哈尔基底的消失矩为1。

墨西哥帽函数

墨西哥帽函数的数学表示式:

$\psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}$

仔细观察，$\psi (t)$ 其实是高斯函数的二次微分:

$\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=$ 常數。 

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

$\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}$。

利用

${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

可以算出

$m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0$。

所以墨西哥帽函数的消失矩为2。

高斯函数的p次微分

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，所以消失矩为2。

当

$\psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}$

其傅立叶转换为

$(j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}$。

利用

${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$

可以算出

$m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0$。

所以高斯函数p次微分的消失矩为p。

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连续函数的离散系数

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的离散小波，而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

且这三种都是orthonormal filters

多贝西小波

$2n$ 點的多貝西小波，消失矩 $=n$

Symlet

$2n$ 點的Symlet，消失矩 $=n$

Coiflet

$6n$ 點的Coiflet，消失矩 $=n$

三者的比较

1. Symlet和多贝西小波非常类似，但是比多贝西小波还要对称。
2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\,dt\neq 0$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{k}\phi (t)\,dt=0for1\leq k\leq p$

消失矩对于函数的意义

消失矩是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说，对于函数

$f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}$

当输入值$t$逐渐往无限大增加时，此函数会以${\frac {1}{t^{2}}}$的速率递减。 我们可用利用定义中的动量积分式$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt$来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数，当$k=0$时，由于分子$\sin(t)$会在$[-1,1]$之间震荡，使得整个函数在$[-{\frac {1}{t^{2}}},{\frac {1}{t^{2}}}]$震荡。

此性质使得$k=0$时，

$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0$ 

函数积分式必定会收敛于0，代表第0个动量$m_{0}=0$

当$k=1$时，

$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi$

因此第1个动量$m_{1}=\pi \neq 0$

对于$k>1$的情况，动量积分式均会随著$t\to \infty$而发散。

由以上的范例，我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大$k$值来判断函数的递减速率，而此最大$k$值便是函数的消失矩。

在连续小波转换中，设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的，而母小波在有值区间内如何递减的特性，则可由消失矩来描述。

消失矩的等价叙述

依照定义，小波母函数$\psi (t)$有 $p$ 个消失矩的条件为

$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\psi (t)\,dt=0,\ for\ 0\leq k<p$

然而由于此定义中包含了一个无限范围的连续积分，因此在设计小波母函数上并不实用。

若定义小波转换中的尺度函数为$\varphi (t)$，当以下小波母函数和尺度函数的关系成立时，

$\left|\psi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})$

$\left|\varphi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})$

下列四项叙述便是等价的：

1. 小波母函数$\psi (t)$有$p$个消失矩。

2. $\psi (t),\ \varphi (t)$的傅立叶转换，以及前$p-1$次微分在$\omega =0$处均为零。

3. $h_{\varphi }(t),\ H_{\varphi }(e^{j\omega })$的傅立叶转换，以及前$p-1$次微分在$\omega =0$处均为零。

4. 对于$0\leq k<p$ 区间内的任意$k$值

$q_{k}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n^{k}\varphi (t-n)$

是最高次方为$k$ 的多项式函数。

消失矩与小波函数的设计

当滤波器的傅立叶转换满足以下的条件时，

${\left|H_{\varphi }(\omega )\right|}^{2}+{\left|H_{\varphi }(\omega +\pi )\right|}^{2}=2$

此滤波器满足共轭镜像滤波器的条件。其中$H_{\varphi }(\omega )$代表离散低通滤波器$h_{\varphi }[n]$离散低通滤波器的傅立叶转换。

结合共轭镜像滤波器的条件与消失矩的第3个等价叙述，我们可以将低通滤波器表示为

$H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })$

其中$L(x)$为一多项式函数。

利用上述条件与消失矩的等价叙述，可以简化设计小波函数的步骤。

消失矩与滤波器长度

在小波转换中，尺度函数和小波母函数可利用离散滤波器来定义：

$\varphi (t)=\sum _{n}^{}h_{\varphi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)$

$\psi (t)=\sum _{n}^{}h_{\psi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)$

其中$h_{\varphi }[n]$为离散低通滤波器，$h_{\psi }[n]$则为离散高通滤波器，通常会利用支撑大小(Size of support)来表示滤波器的长度。

从上述$H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })$的表示式可得知，

当我们选择较高的消失矩$p$时，$H_{\varphi }(e^{j\omega })$将会是具有较高$e^{j\omega }$次方的多项式函数，因此对应到的$h_{\varphi }[n]$便有较长的滤波器长度。

一般而言，拥有较高的消失矩与较短的滤波器长度是一个交换条件的关系，无法两者同时满足。

因此在设计连续小波转换中的小波母函数时，除了消失矩外，也应当把所对应到的滤波器长度考虑进去。

参考文献

• Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） [viewed 17/01/2012]
• Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）, February 2010
• S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.