鞍结点分岔

鞍结点分岔（Saddle-node bifurcation），又称切分岔、折叠分岔，是在数学中的分岔理论描述的一种动力学系统中的局部分岔。表现为一对不动点相互靠近并最终互相碰撞导致不动点消失或其逆过程。"鞍结点分岔"一般用来描述连续性的动力学系统。在离散动力学系统中，这一种分岔一般称为折叠分岔。

对于一维的动力学系统，参与鞍结点分岔的两个不动点中，一个为稳定不动点(稳定结点)，另一个为不稳定不动点(鞍点)。

鞍结点分岔一般与动力学系统中的磁滞现象及爆发灾难现象相关。

鞍结点分岔的正则方程

一个典型鞍结点分岔的微分方程的例子如下：

{\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.

其中 $x$ 为变量， $r$ 为分岔参数。

当 $r<0$ 时，该系统有两个不动点，其中一个为稳定不动点 $-{\sqrt {-r}}$ ，另一个为不稳定不动点 $+{\sqrt {-r}}$ 。
当 $r=0$ 时(分岔临界点)，系统两个不动点将结合，从而只出现一个不动点。此时该不动点称为鞍结点。
当 $r>0$ 时，该系统没有任何不动点。

事实上，上述例子即为鞍-结点分岔的正则方程。对于一般的标量微分方程 ${\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)$ ，若其在 $r=0$ 时有不动点 $x=0$ 且同时满足 ${\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ 时，在满足非简并条件( ${\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0$ )及横向条件( ${\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0$ )时，该微分方程与正则方程局部拓扑等价。

二维动力学系统中的例子

二维系统中一个有鞍结点分岔的动力学系统如下：

{\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}

{\frac {dy}{dt}}=-y.

该系统相空间的性质会随着参数 $\alpha$ 的变化而变化如下：

当 $\alpha <0$ 时，系统没有不动点。
当 $\alpha =0$ 时，系统有一个鞍结点。
当 $\alpha >0$ 时，系统通过鞍结点分岔形成两个不动点，其中一个稳定(稳定结点)，另一个一稳定(鞍点)。

除此之外，鞍结点分岔同样出现在消费者模型、生物学切换网络等系统中。而且近年什至有人指出广义相对论中的爱因斯坦埸方程在某些特定情况下也会出现与鞍结点分岔同样的现象。

参考资料

Kuznetsov, Yuri A. Elements of Applied Bifurcation Theory Second. Springer. 1998. ISBN 0-387-98382-1.
Strogatz, Steven H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison Wesley. 1994. ISBN 0-201-54344-3.
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Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. Einstein Field Equations as a Fold Bifurcation. Journal of Geometry and Physics Volume 123, January 2018, Pages 434-437. 2018.