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博雷爾-卡拉西奧多里定理

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複分析中,博雷爾-卡拉西奧多里定理(Borel-Carathéodory theorem)表明解析函數有一個用實部表示的上界。它是最大模原理的一個應用,以埃米爾·博雷爾康斯坦丁·卡拉西奧多里命名。

定理陳述

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設函數在以原點為圓心以為半徑的閉圓盤上解析。假設,則有以下不等式:

其中左邊的範數是在閉圓盤上的最大值:

證明

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定義

首先設。由於是調和的,可以取映到直線左邊的半平面。我們想把這個半平面映到圓盤上,再用施瓦茨引理,得到所要的不等式。

變成標準左半平面。把左半平面變成圓心在原點且半徑為的圓。它們的複合映射把0映成0,就是所需要的映射:

對上面這個映射與的複合使用施瓦茨引理,得到

,上式變為

所以

對於一般的情況,考慮

整理後即得所要證明的不等式。

參考資料

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  • Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
  • Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.